Упр.1072 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) 1, -1, 2; б) 1; 2; -2; в) 1; -v2; г) 1; 3-v2.

1. Если числа $$x_1, x_2, \dots, x_n$$ являются корнями многочлена, то уравнение можно составить в виде

   $$ (x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)=0. $$

2. а) Корни: $$1,\,-1,\,2.$$ Тогда

   $$ (x-1)(x+1)(x-2)=0. $$

   Сначала перемножим первые два множителя:

   $$ (x^2-1)(x-2)=0. $$

   Раскроем скобки:

   $$ x^3-2x^2-x+2=0. $$

3. б) Корни: $$1,\,2,\,-2.$$ Тогда

   $$ (x-1)(x-2)(x+2)=0. $$

   Перемножим последние два множителя:

   $$ (x-1)(x^2-4)=0. $$

   Раскроем скобки:

   $$ x^3-x^2-4x+4=0. $$

4. в) Корни: $$1,\,-\sqrt{2}.$$ Так как коэффициенты многочлена должны быть целыми, вместе с корнем $$-\sqrt{2}$$ должен быть и корень $$\sqrt{2}.$$ Тогда

   $$ (x-1)(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})=0. $$

   Получаем

   $$ (x-1)(x^2-2)=0, $$

   откуда

   $$ x^3-x^2-2x+2=0. $$

5. г) Корни: $$1,\;3-\sqrt{2}.$$ Тогда вместе с корнем $$3-\sqrt{2}$$ должен быть и корень $$3+\sqrt{2}.$$ Получаем

   $$ (x-1)\bigl(x-(3-\sqrt{2})\bigr)\bigl(x-(3+\sqrt{2})\bigr)=0. $$

   Перемножим сопряжённые множители:

   $$ (x-1)\bigl((x-3)^2-2\bigr)=0. $$

   $$ (x-1)(x^2-6x+7)=0. $$

   Раскроем скобки:

   $$ x^3-7x^2+13x-7=0. $$

Ответ

а) $$x^3-2x^2-x+2=0;$$

б) $$x^3-x^2-4x+4=0;$$

в) $$x^3-x^2-2x+2=0;$$

г) $$x^3-7x^2+13x-7=0.$$