Упр.1045 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) v(x+vx)-v(x-vx)=3/2 v(x/(x+vx)).
б) (vx+v(x-4vx))/(vx-v(x-4vx))-(vx-v(x-4vx))/(vx+v(x-4vx))=x^(1/4).

а) Обозначим $$t=\sqrt{x}.$$ Тогда $$x=t^2,$$ и уравнение принимает вид

$$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$$

$$\sqrt{t^2+t}-\sqrt{t^2-t}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{t^2}{t^2+t}}.$$

Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0,$$ то при $$t>0$$ имеем

$$\sqrt{\frac{t^2}{t^2+t}}=\sqrt{\frac{t}{t+1}}.$$

Удобнее решить уравнение в исходной записи, последовательно преобразуя его:

$$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}$$

$$\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{x}.$$

Перенесём и преобразуем:

$$2\sqrt{x+\sqrt{x}}-2\sqrt{x-\sqrt{x}}=3\sqrt{x}.$$

После возведения в квадрат и упрощения получаем

$$4\sqrt{x}=5,$$

откуда

$$\sqrt{x}=\frac{5}{4}, \qquad x=\frac{25}{16}.$$

Проверим область определения: $$x\ge 0,$$ а также $$x-\sqrt{x}\ge 0.$$ Для найденного значения $$x=\frac{25}{16}$$ все условия выполняются.

б) Обозначим $$t=\sqrt{x}.$$ Тогда $$x=t^2,$$ и уравнение можно записать так:

$$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}-\sqrt{x-4\sqrt{x}}}-\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-4\sqrt{x}}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-4\sqrt{x}}}=\sqrt[4]{x}.$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{x-4\sqrt{x}})^2-(\sqrt{x}-\sqrt{x-4\sqrt{x}})^2}{x-(x-4\sqrt{x})}=\sqrt[4]{x}.$$

По формуле разности квадратов числитель равен

$$4\sqrt{x}\sqrt{x-4\sqrt{x}},$$

а знаменатель:

$$4\sqrt{x}.$$

Тогда

$$\sqrt{x-4\sqrt{x}}=\sqrt[4]{x}.$$

Возведём в квадрат:

$$x-4\sqrt{x}=\sqrt{x}.$$

Получаем

$$x=5\sqrt{x}.$$

Так как $$x\ge 0,$$ то

$$\sqrt{x}=5,\qquad x=25.$$

Проверка области определения: $$\sqrt{x-4\sqrt{x}}$$ существует при $$x-4\sqrt{x}\ge 0,$$ то есть при найденном значении условие выполняется.

Ответ

а) $$\frac{25}{16}$$; б) $$25$$.