Упр.1029 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) a/((ab)^0,5+b)+b/((ab)^0,5-a)-(a+b)/(a^0,5 b^0,5);
б) ((a^0,5+2)/(a+2a^0,5+1)-(a^0,5-2)/(a-1))·(a^0,5+1)/a^0,5.

а) Пусть $$\sqrt{a}=x,\ \sqrt{b}=y.$$ Тогда $$a=x^2,\ b=y^2,\ \sqrt{ab}=xy.$$

Преобразуем выражение:

$$ \frac{a}{\sqrt{ab}+b}+\frac{b}{\sqrt{ab}-a}-\frac{a+b}{\sqrt{ab}} = \frac{x^2}{xy+y^2}+\frac{y^2}{xy-x^2}-\frac{x^2+y^2}{xy}. $$

Вынесем множители в знаменателях:

$$ \frac{x^2}{y(x+y)}+\frac{y^2}{x(y-x)}-\frac{x^2+y^2}{xy}. $$

Приведём к общему знаменателю $$xy(y-x)(x+y)$$:

$$ \frac{x^3y(y-x)+xy^3(x+y)-(x^2+y^2)(y-x)(x+y)}{xy(y-x)(x+y)}. $$

После упрощения числителя получаем:

$$ \frac{(x^2+y^2)(x+y)(x-y)}{xy(y-x)(x+y)}=-\frac{x^2+y^2}{xy}. $$

Возвращаясь к переменным $$a$$ и $$b$$, имеем:

$$ -\frac{a+b}{\sqrt{ab}}. $$

б) Обозначим $$\sqrt{a}=x.$$ Тогда $$a=x^2$$, и выражение принимает вид:

$$ \left(\frac{x+2}{x^2+2x+1}-\frac{x-2}{x^2-1}\right)\cdot \frac{x+1}{x}. $$

Разложим знаменатели на множители:

$$ x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad x^2-1=(x-1)(x+1). $$

Тогда

$$ \left(\frac{x+2}{(x+1)^2}-\frac{x-2}{(x-1)(x+1)}\right)\cdot \frac{x+1}{x}. $$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю $$ (x-1)(x+1)^2 $$:

$$ \frac{(x+2)(x-1)-(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)^2}\cdot \frac{x+1}{x}. $$

Упростим числитель:

$$ (x+2)(x-1)-(x-2)(x+1)=x^2+x-2-(x^2-x-2)=2x. $$

Получаем:

$$ \frac{2x}{(x-1)(x+1)^2}\cdot \frac{x+1}{x} = \frac{2}{(x-1)(x+1)}. $$

Возвращаясь к $$x=\sqrt{a}$$, имеем:

$$ \frac{2}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}=\frac{2}{a-1}. $$

Ответ

а) $$-\frac{a+b}{\sqrt{ab}}$$; б) $$\frac{2}{a-1}$$.