Упр.1022 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1022. Докажите, что v(a^2+2b^2-2abv2)={a-bv2, если a?bv2; bv2-a, если a?bv2}. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makarichev_ugl9 1022 95

Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:

$$ a^2+2b^2-2ab\sqrt2=a^2-2ab\sqrt2+(b\sqrt2)^2=(a-b\sqrt2)^2. $$

Тогда

$$ \sqrt{a^2+2b^2-2ab\sqrt2}=\sqrt{(a-b\sqrt2)^2}=|a-b\sqrt2|. $$

По определению модуля:

$$ |a-b\sqrt2|= \begin{cases} a-b\sqrt2, & \text{если } a\ge b\sqrt2,\\ b\sqrt2-a, & \text{если } a<b\sqrt2. \end{cases} $$

Следовательно,

$$ \sqrt{a^2+2b^2-2ab\sqrt2}= \begin{cases} a-b\sqrt2, & \text{если } a\ge b\sqrt2,\\ b\sqrt2-a, & \text{если } a<b\sqrt2. \end{cases} $$

Ответ

$$ \sqrt{a^2+2b^2-2ab\sqrt2}= \begin{cases} a-b\sqrt2, & \text{если } a\ge b\sqrt2,\\ b\sqrt2-a, & \text{если } a<b\sqrt2. \end{cases} $$