Упр.101 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

а) y=3x^2-2x+1; в) y=0,1x^2-5x-8;
б) y=-5x^2+6x+7; г) y=-0,2x^2+6x+1.

1. а) $$y=3x^2-2x+1$$

   Найдём направление ветвей: $$a=3>0$$, значит парабола направлена вверх.

   Нули функции:

   $$3x^2-2x+1=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12=-8<0$$

   Значит, действительных корней нет.

   Координаты вершины:

   $$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{2}{6}=\frac13$$

   $$y_0=3\left(\frac13\right)^2-2\cdot\frac13+1=\frac23$$

   Точка пересечения с осью $$Oy$$:

   $$y(0)=1$$

   Для построения отмечаем точки $$\left(\frac13,\frac23\right)$$ и $$\left(0,1\right)$$ и проводим параболу, симметричную относительно прямой $$x=\frac13$$.

2. б) $$y=-5x^2+6x+7$$

   Так как $$a=-5<0$$, ветви параболы направлены вниз.

   Нули функции:

   $$-5x^2+6x+7=0$$

   $$5x^2-6x-7=0$$

   $$D=(-6)^2-4\cdot 5\cdot(-7)=36+140=176$$

   $$x=\frac{6\pm\sqrt{176}}{10}=\frac{6\pm 4\sqrt{11}}{10}=\frac{3\pm 2\sqrt{11}}{5}$$

   Координаты вершины:

   $$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2\cdot(-5)}=\frac35$$

   $$y_0=-5\left(\frac35\right)^2+6\cdot\frac35+7=\frac{44}{5}$$

   Точка пересечения с осью $$Oy$$:

   $$y(0)=7$$

   Для построения отмечаем вершину $$\left(\frac35,\frac{44}{5}\right)$$ и точку $$\left(0,7\right)$$.

3. в) $$y=0{,}1x^2-5x-8$$

   Так как $$a=0{,}1>0$$, парабола направлена вверх.

   Нули функции:

   $$0{,}1x^2-5x-8=0$$

   Умножим на 10:

   $$x^2-50x-80=0$$

   $$D=(-50)^2-4\cdot 1\cdot(-80)=2500+320=2820$$

   $$x=\frac{50\pm\sqrt{2820}}{2}=\frac{50\pm 2\sqrt{705}}{2}=25\pm\sqrt{705}$$

   Координаты вершины:

   $$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{5}{0{,}2}=25$$

   $$y_0=0{,}1\cdot 25^2-5\cdot 25-8=62{,}5-125-8=-70{,}5$$

   Точка пересечения с осью $$Oy$$:

   $$y(0)=-8$$

   Для построения отмечаем вершину $$\left(25,-70{,}5\right)$$ и точку $$\left(0,-8\right)$$.

4. г) $$y=-0{,}2x^2+6x+1$$

   Так как $$a=-0{,}2<0$$, ветви параболы направлены вниз.

   Нули функции:

   $$-0{,}2x^2+6x+1=0$$

   Умножим на 5:

   $$x^2-30x-5=0$$

   $$D=(-30)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=900+20=920$$

   $$x=\frac{30\pm\sqrt{920}}{2}=\frac{30\pm 2\sqrt{230}}{2}=15\pm\sqrt{230}$$

   Координаты вершины:

   $$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2\cdot(-0{,}2)}=15$$

   $$y_0=-0{,}2\cdot 15^2+6\cdot 15+1=46$$

   Точка пересечения с осью $$Oy$$:

   $$y(0)=1$$

   Для построения отмечаем вершину $$\left(15,46\right)$$ и точку $$\left(0,1\right)$$.

Ответ

а) Парабола с вершиной $$\left(\frac13,\frac23\right)$$, ветви вверх, нулей нет; $$y(0)=1$$.

б) Парабола с вершиной $$\left(\frac35,\frac{44}{5}\right)$$, ветви вниз; нули: $$x=\frac{3\pm 2\sqrt{11}}{5}$$; $$y(0)=7$$.

в) Парабола с вершиной $$\left(25,-70{,}5\right)$$, ветви вверх; нули: $$x=25\pm\sqrt{705}$$; $$y(0)=-8$$.

г) Парабола с вершиной $$\left(15,46\right)$$, ветви вниз; нули: $$x=15\pm\sqrt{230}$$; $$y(0)=1$$.