Упр.703 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 703. Существуют ли три числа, которые составляют одновременно арифметическую и геометрическую прогрессии?

Пусть три числа одновременно образуют арифметическую и геометрическую прогрессии:

$$x_1,\; x_1+d,\; x_1+2d$$

и

$$x_1,\; x_1q,\; x_1q^2.$$

Тогда для средних и последних членов получаем:

$$x_1+d=x_1q,$$

$$x_1+2d=x_1q^2.$$

Вычтем из второго равенства первое, умноженное на 2:

$$x_1+2d-2(x_1+d)=x_1q^2-2x_1q,$$

$$-x_1=x_1(q^2-2q).$$

Удобнее сразу выразить $d$:

$$d=x_1(q-1),$$

$$2d=x_1(q^2-1).$$

Подставим первое во второе:

$$2x_1(q-1)=x_1(q^2-1).$$

Если $x_1\neq 0$, то

$$2(q-1)=q^2-1,$$

$$q^2-2q+1=0,$$

$$ (q-1)^2=0,$$

$$q=1.$$

Тогда

$$d=x_1(q-1)=0,$$

значит,

$$x_1=x_2=x_3.$$

Если же $x_1=0$, то все три члена геометрической прогрессии равны нулю, и снова получаем одинаковые числа.

Ответ

Да, существуют: это три равных числа. В частности, $$x_1=x_2=x_3$$ (для геометрической прогрессии — также не нулевые, если требуется ненулевая прогрессия).