Упр.665 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

1 * 4 + 2 * 7 + 3 * 10 + … + n(3n + 1) = n(n+1)2.

Докажем равенство методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$1\cdot 4=4,$$

$$1(1+1)^2=1\cdot 4=4.$$

Значит, равенство верно при $$n=1$$.

2) Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$n=k$$ верно:

$$1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.$$

Докажем, что тогда оно верно и для $$n=k+1$$:

$$ 1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1) $$

$$ = k(k+1)^2+(k+1)(3k+4) $$

$$ = (k+1)\bigl(k(k+1)+3k+4\bigr) $$

$$ = (k+1)(k^2+4k+4) $$

$$ = (k+1)(k+2)^2. $$

Так как $$k+2=(k+1)+1$$, получаем:

$$ (k+1)(k+2)^2=(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)^2. $$

Следовательно, равенство верно и при $$n=k+1$$.

По принципу математической индукции данное равенство верно при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$