Упр.616 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 616. Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и т. д. (рис. 77). Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров, чтобы составить треугольник из 30 рядов? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 616 95

Число шаров в рядах образует арифметическую прогрессию:

$$a_1=1,\quad d=1.$$

1) Найдём число рядов, если всего шаров $$S_n=120$$.

Используем формулу суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Подставим данные:

$$120=\frac{2\cdot 1+1\cdot (n-1)}{2}\cdot n=\frac{n+1}{2}\cdot n.$$

Тогда

$$n(n+1)=240,$$

$$n^2+n-240=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 240=961,$$

$$n=\frac{-1\pm 31}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=15,\quad n_2=-16.$$

Отрицательное значение не подходит, значит, шаров размещено в $$15$$ рядах.

2) Найдём, сколько шаров потребуется для треугольника из $$30$$ рядов:

$$S_{30}=\frac{2\cdot 1+1\cdot (30-1)}{2}\cdot 30=\frac{31}{2}\cdot 30=465.$$

Ответ

$$15$$ рядов; $$465$$ шаров.