Упр.540 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 540. Разность квадратов двух чисел равна 100. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получится 30. Найдите эти числа.

Пусть искомые числа — $$x$$ и $$y$$. Тогда по условию

$$ \begin{cases} x^2-y^2=100,\\ 3x-2y=30. \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $$y$$:

$$ 2y=3x-30, $$

$$ y=\frac{3x-30}{2}. $$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$ x^2-\left(\frac{3x-30}{2}\right)^2=100. $$

Умножим на $$4$$:

$$ 4x^2-(3x-30)^2=400. $$

Раскроем скобки:

$$ 4x^2-(9x^2-180x+900)=400, $$

$$ -5x^2+180x-900=400, $$

$$ 5x^2-180x+1300=0, $$

$$ x^2-36x+260=0. $$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$ D=36^2-4\cdot260=1296-1040=256. $$

$$ x=\frac{36\pm\sqrt{256}}{2}=\frac{36\pm16}{2}. $$

Тогда

$$ x_1=26,\quad x_2=10. $$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$ y_1=\frac{3\cdot26-30}{2}=\frac{48}{2}=24, $$

$$ y_2=\frac{3\cdot10-30}{2}=\frac{0}{2}=0. $$

Проверка:

$$ 26^2-24^2=676-576=100,\qquad 3\cdot26-2\cdot24=78-48=30; $$

$$ 10^2-0^2=100,\qquad 3\cdot10-2\cdot0=30. $$

Ответ

$$26 \text{ и } 24,\; 10 \text{ и } 0.$$