Упр.381 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

а) х4 — 12х2 + с = О; б) x4 + сх2 + 100 = 0?

а) Пусть $$t=x^2.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$t^2-12t+c=0.$$

Чтобы исходное уравнение не имело корней, это квадратное уравнение не должно иметь неотрицательных корней.

1) Если $$D<0,$$ то корней нет:

$$D=(-12)^2-4\cdot c=144-4c<0,$$

$$4c>144,$$

$$c>36.$$

2) Если $$D\ge 0,$$ то корни равны

$$t_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{D}}{2}.$$

Так как сумма корней равна $$12>0,$$ а произведение равно $$c,$$ то при $$D\ge 0$$ оба корня не могут быть отрицательными одновременно. Значит, чтобы не было неотрицательных корней, достаточно и необходимо, чтобы $$D<0.$$

Следовательно, $$c>36.$$

б) Пусть $$t=x^2.$$ Тогда

$$t^2+ct+100=0.$$

Это уравнение не имеет корней, если после замены квадратное уравнение не имеет неотрицательных корней.

1) При $$D<0$$ корней нет:

$$D=c^2-4\cdot 100=c^2-400<0,$$

$$-20<c<20.$$

2) При $$D\ge 0$$ корни равны

$$t_{1,2}=\frac{-c\pm\sqrt{D}}{2}.$$

Чтобы оба корня были отрицательными, нужно

$$\frac{-c+\sqrt{D}}{2}<0,$$

то есть

$$-c+\sqrt{D}<0.$$

Но

$$\sqrt{D}\le |c|,$$

поэтому при $$c>0$$ имеем $$-c+\sqrt{D}\le 0,$$ а при $$c\le 0$$ хотя бы один корень неотрицателен. Значит, неотрицательных корней нет только при

$$c&gt{?}$$

С учётом пункта 1 получаем:

$$c>-20.$$

Ответ

а) $$c>36$$; б) $$c>-20$$.