Упр.370 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 370. Решите уравнение, обозначив одно из слагаемых через t, а другое через 1/t: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 370 95
$$\frac{x^2+1}{x}+\frac{x}{x^2+1}=2\frac12$$
Пусть $$t=\frac{x^2+1}{x}$$, тогда $$\frac{x}{x^2+1}=\frac1t$$. Получаем:
$$t+\frac1t=\frac52$$
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=25-16=9$$
$$t_1=\frac{5+3}{4}=2,\quad t_2=\frac{5-3}{4}=\frac12$$
1) Если $$\frac{x^2+1}{x}=2$$, то
$$x^2+1=2x$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0,\quad x=1$$
2) Если $$\frac{x^2+1}{x}=\frac12$$, то
$$2x^2+2=x$$
$$2x^2-x+2=0$$
$$D=1-16=-15<0$$
Корней нет.
$$\frac{x^2+2}{3x-2}+\frac{3x-2}{x^2+2}=2\frac16$$
Пусть $$t=\frac{x^2+2}{3x-2}$$, тогда $$\frac{3x-2}{x^2+2}=\frac1t$$. Получаем:
$$t+\frac1t=\frac{13}{6}$$
$$6t^2-13t+6=0$$
$$D=169-144=25$$
$$t_1=\frac{13+5}{12}=\frac32,\quad t_2=\frac{13-5}{12}=\frac23$$
1) Если $$\frac{x^2+2}{3x-2}=\frac32$$, то
$$2x^2+4=9x-6$$
$$2x^2-9x+10=0$$
$$D=81-80=1$$
$$x=\frac{9\pm1}{4}$$
$$x_1=2,\quad x_2=2{,}5$$
2) Если $$\frac{x^2+2}{3x-2}=\frac23$$, то
$$3x^2+6=6x-4$$
$$3x^2-6x+10=0$$
$$D=36-120=-84<0$$
Корней нет.
Ответ
а) $$x=1$$; б) $$x=2,\; 2{,}5$$.
