Упр.290 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 290. Решите уравнение:

а) Рассмотрим уравнение

$$\frac{2}{x-2}-\frac{10}{x+3}=\frac{50}{x^2+x-6}-1.$$

Разложим знаменатель:

$$x^2+x-6=(x-2)(x+3).$$

Тогда

$$\frac{2}{x-2}-\frac{10}{x+3}=\frac{50}{(x-2)(x+3)}-1.$$

Умножим обе части на $$ (x-2)(x+3) $$:

$$2(x+3)-10(x-2)=50-(x-2)(x+3).$$

Раскроем скобки:

$$2x+6-10x+20=50-(x^2+x-6),$$

$$26-8x=56-x^2-x,$$

$$x^2-7x-30=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-30)=49+120=169,$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm 13}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=10,\quad x_2=-3.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x\neq 2,\quad x\neq -3.$$

Значит, $$x=-3$$ не подходит. Остаётся $$x=10$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x+5}{x-1}+\frac{2x-5}{x-7}-\frac{30-12x}{8x-x^2-7}=0.$$

Разложим знаменатель:

$$8x-x^2-7=-(x^2-8x+7)=-(x-1)(x-7).$$

Тогда

$$-\frac{30-12x}{8x-x^2-7}=\frac{30-12x}{(x-1)(x-7)}.$$

Получаем:

$$\frac{x+5}{x-1}+\frac{2x-5}{x-7}+\frac{30-12x}{(x-1)(x-7)}=0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(x+5)(x-7)+(2x-5)(x-1)+30-12x}{(x-1)(x-7)}=0.$$

Числитель равен:

$$x^2-2x-35+2x^2-7x+5+30-12x=3x^2-21x=3x(x-7).$$

Тогда

$$\frac{3x(x-7)}{(x-1)(x-7)}=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=7$$, но $$x=7$$ не подходит, так как обращает знаменатель в ноль.

Проверим ОДЗ:

$$x\neq 1,\quad x\neq 7.$$

Следовательно, $$x=0$$.

Ответ

а) $$10$$; б) $$0$$.