Упр.243 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Задача

а) у = х2 + 2х — 15;
б) у = 0,5×2 — 3x + 4;
в) у = 4 — 0,5×2;
г) у = 6х — 2×2;
д) у = (2x — 7)(x + 1);
е) у = (2 — х)(х + 6).

Подробный ответ

а) $$y=x^2+2x-15$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot 1}=-1,$$
$$y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)-15=1-2-15=-16.$$
Значит, вершина: $$(-1;\,-16).$$
Нули функции:
$$x^2+2x-15=0$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=3.$$
Так как $$a>0,$$ парабола направлена вверх.
Свойства:
$$D(x)=(-\infty;+\infty),$$
$$E(y)=[-16;+\infty),$$
$$y=0 \text{ при } x=-5 \text{ и } x=3,$$
$$y<0 \text{ при } -5<x<3,$$
$$y>0 \text{ при } x<-5 \text{ и } x>3,$$
убывает на $$(-\infty;-1],$$ возрастает на $$[-1;+\infty).$$
б) $$y=0{,}5x^2-3x+4$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot 0{,}5}=3,$$
$$y_0=0{,}5\cdot 3^2-3\cdot 3+4=4{,}5-9+4=-0{,}5.$$
Значит, вершина: $$\left(3;\,-0{,}5\right).$$
Нули функции:
$$0{,}5x^2-3x+4=0$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$D=36-32=4,$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}$$
$$x_1=2,\quad x_2=4.$$
Так как $$a>0,$$ парабола направлена вверх.
Свойства:
$$D(x)=(-\infty;+\infty),$$
$$E(y)=[-0{,}5;+\infty),$$
$$y=0 \text{ при } x=2 \text{ и } x=4,$$
$$y<0 \text{ при } 2<x<4,$$
$$y>0 \text{ при } x<2 \text{ и } x>4,$$
убывает на $$(-\infty;3],$$ возрастает на $$[3;+\infty).$$
в) $$y=4-0{,}5x^2$$
Вершина параболы:
$$x_0=0,\quad y_0=4.$$
Значит, вершина: $$(0;4).$$
Нули функции:
$$4-0{,}5x^2=0$$
$$0{,}5x^2=4,$$
$$x^2=8,$$
$$x_{1,2}=\pm 2\sqrt{2}.$$
Так как $$a<0,$$ парабола направлена вниз.
Свойства:
$$D(x)=(-\infty;+\infty),$$
$$E(y)=(-\infty;4],$$
$$y=0 \text{ при } x=-2\sqrt{2} \text{ и } x=2\sqrt{2},$$
$$y>0 \text{ при } -2\sqrt{2}<x<2\sqrt{2},$$
$$y<0 \text{ при } x<-2\sqrt{2} \text{ и } x>2\sqrt{2},$$
возрастает на $$(-\infty;0],$$ убывает на $$[0;+\infty).$$
г) $$y=6x-2x^2$$
Приведём к стандартному виду:
$$y=-2x^2+6x.$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-2)}=1{,}5,$$
$$y_0=6\cdot 1{,}5-2\cdot 1{,}5^2=9-4{,}5=4{,}5.$$
Значит, вершина: $$(1{,}5;\,4{,}5).$$
Нули функции:
$$6x-2x^2=0$$
$$2x(3-x)=0,$$
$$x_1=0,\quad x_2=3.$$
Так как $$a<0,$$ парабола направлена вниз.
Свойства:
$$D(x)=(-\infty;+\infty),$$
$$E(y)=(-\infty;4{,}5],$$
$$y=0 \text{ при } x=0 \text{ и } x=3,$$
$$y<0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>3,$$
$$y>0 \text{ при } 0<x<3,$$
возрастает на $$(-\infty;1{,}5],$$ убывает на $$[1{,}5;+\infty).$$
д) $$y=(2x-7)(x+1)$$
Раскроем скобки:
$$y=2x^2+2x-7x-7=2x^2-5x-7.$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2\cdot 2}=\frac{5}{4}=1{,}25,$$
$$y_0=2\cdot\left(\frac{5}{4}\right)^2-5\cdot\frac{5}{4}-7=-\frac{81}{8}=-10\frac{1}{8}.$$
Значит, вершина: $$\left(1{,}25;\,-10\frac{1}{8}\right).$$
Нули функции:
$$(2x-7)(x+1)=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3{,}5.$$
Так как $$a>0,$$ парабола направлена вверх.
Свойства:
$$D(x)=(-\infty;+\infty),$$
$$E(y)=\left[-10\frac{1}{8};+\infty\right),$$
$$y=0 \text{ при } x=-1 \text{ и } x=3{,}5,$$
$$y<0 \text{ при } -1<x<3{,}5,$$
$$y>0 \text{ при } x<-1 \text{ и } x>3{,}5,$$
убывает на $$(-\infty;1{,}25],$$ возрастает на $$[1{,}25;+\infty).$$
е) $$y=(2-x)(x+6)$$
Раскроем скобки:
$$y=2x+12-x^2-6x=-x^2-4x+12.$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot(-1)}=-2,$$
$$y_0=-( -2)^2-4\cdot(-2)+12=-4+8+12=16.$$
Значит, вершина: $$(-2;\,16).$$
Нули функции:
$$(2-x)(x+6)=0$$
$$x_1=-6,\quad x_2=2.$$
Так как $$a<0,$$ парабола направлена вниз.
Свойства:
$$D(x)=(-\infty;+\infty),$$
$$E(y)=(-\infty;16],$$
$$y=0 \text{ при } x=-6 \text{ и } x=2,$$
$$y<0 \text{ при } x<-6 \text{ и } x>2,$$
$$y>0 \text{ при } -6<x<2,$$
возрастает на $$(-\infty;-2],$$ убывает на $$[-2;+\infty).$$