Упр.1070 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 9 класс, Просвещение: 1070 В арифметической прогрессии а1, а2, а3, а4, состоящей из целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 makar9 1070 95

Пусть $$a_1=a_2-d,\quad a_3=a_2+d,\quad a_4=a_2+2d,$$ где $$d$$ — разность арифметической прогрессии.

По условию наибольший член равен сумме квадратов остальных:

$$a_4=a_1^2+a_2^2+a_3^2.$$

Подставим выражения через $$a_2$$ и $$d$$:

$$a_2+2d=(a_2-d)^2+a_2^2+(a_2+d)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a_2+2d=a_2^2-2a_2d+d^2+a_2^2+a_2^2+2a_2d+d^2,$$

$$a_2+2d=3a_2^2+2d^2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$3a_2^2-a_2+2d^2-2d=0.$$

Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$d$$:

$$2d^2-2d+(3a_2^2-a_2)=0.$$

Чтобы уравнение имело целое решение $$d$$, его дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot(3a_2^2-a_2)=4-24a_2^2+8a_2\ge 0.$$

Получаем:

$$6a_2^2-2a_2-1\le 0.$$

Найдём корни соответствующего квадратного трёхчлена:

$$D=(-2)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=4+24=28,$$

$$a_2=\frac{2\pm\sqrt{28}}{12}=\frac{1\pm\sqrt7}{6}.$$

Так как $$a_2$$ — целое число, то возможно только $$a_2=0.$$

Подставим это значение в уравнение:

$$2d^2-2d=0,$$

$$2d(d-1)=0,$$

откуда $$d=0$$ или $$d=1.$$

Значение $$d=0$$ не подходит, так как тогда все члены прогрессии равны и наибольшего члена нет. Значит, $$d=1.$$

Тогда

$$a_1=a_2-d=0-1=-1,$$

$$a_2=0,$$

$$a_3=a_2+d=1,$$

$$a_4=a_2+2d=2.$$

Проверка:

$$a_1^2+a_2^2+a_3^2=1+0+1=2=a_4.$$

Ответ

$$-1,\ 0,\ 1,\ 2.$$