Упр.4.136 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

б) В равносторонний треугольник со стороной 1 вписан треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого; в этот треугольник тем же способом вписан новый треугольник и т. д. Найдите сумму периметров бесконечной последовательности полученных вписанных треугольников.

Подробный ответ

а) Площадь первого квадрата равна $$S_1=1^2=1.$$

У квадрата, соединённого из середин сторон, диагонали равны стороне исходного квадрата, то есть равны $$1.$$ Тогда площадь второго квадрата:

$$S_2=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac12.$$

Аналогично для каждого следующего квадрата его площадь в 2 раза меньше площади предыдущего. Значит, площади образуют геометрическую прогрессию:

$$S_1=1,\quad q=\frac12.$$

Сумма площадей всех квадратов равна сумме бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{S_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac12}=2.$$

Но здесь сумма площадей всех получающихся квадратов включает первый квадрат и все вписанные в него, поэтому сумма площадей вписанных квадратов равна

$$1-\left(1-\frac12+\frac14-\cdots\right)$$

Удобнее рассуждать так: каждый следующий квадрат занимает половину площади предыдущего, значит сумма площадей всех квадратов равна

$$1+\frac12+\frac14+\cdots=2.$$

Следовательно, сумма площадей получающихся в результате процедуры квадратов равна площади исходного квадрата, то есть $$1.$$

б) Периметр первого равностороннего треугольника:

$$P_1=1+1+1=3.$$

Треугольник, вершинами которого являются середины сторон предыдущего, имеет стороны в 2 раза меньше, значит его периметр тоже в 2 раза меньше:

$$P_2=\frac12P_1,\quad P_3=\frac12P_2,\ \ldots$$

Периметры образуют геометрическую прогрессию:

$$P_1=3,\quad q=\frac12.$$

Сумма периметров бесконечной последовательности вписанных треугольников:

$$S=\frac{P_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac12}=6.$$