Упр.3.121 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

Задача

б) 4/x + 1/y = 1/15 и 2/x — 1/y = 1/3;
в) 8/(x + y) + 4/(x — y) = 3 и 2/(x + y) — 4/(x — y) = 2;
г) 6/(x + y) + 1/(x — y) = 1 и 9/(x + y) — 6/(x — y) = -1.
Указание. Сведите каждое уравнение системы к линейному с помощью подходящей замены.

Подробный ответ

а) Обозначим $$a=\frac{1}{x}, \quad b=\frac{1}{y}.$$ Тогда получаем систему
$$ \begin{cases} 4a+4b=1,\\ 4a-4b=-3. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$8a=-2,\quad a=-\frac14.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4\left(-\frac14\right)+4b=1,\quad -1+4b=1,\quad 4b=2,\quad b=\frac12.$$
Тогда
$$\frac{1}{x}=-\frac14,\quad \frac{1}{y}=\frac12,$$
откуда
$$x=-4,\quad y=2.$$
б) Пусть $$a=\frac{1}{x}, \quad b=\frac{1}{y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 60a+15b=1,\\ 30a-15b=5. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$90a=6,\quad a=\frac{1}{15}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$60\cdot \frac{1}{15}+15b=1,\quad 4+15b=1,\quad 15b=-3,\quad b=-\frac15.$$
Значит,
$$\frac{1}{x}=\frac{1}{15},\quad \frac{1}{y}=-\frac15,$$
откуда
$$x=15,\quad y=-5.$$
в) Обозначим $$a=\frac{1}{x+y}, \quad b=\frac{1}{x-y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 8a+4b=3,\\ 2a-4b=2. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$10a=5,\quad a=\frac12.$$
Подставим во второе уравнение:
$$2\cdot \frac12-4b=2,\quad 1-4b=2,\quad -4b=1,\quad b=-\frac14.$$
Тогда
$$\frac{1}{x+y}=\frac12,\quad \frac{1}{x-y}=-\frac14,$$
откуда
$$x+y=2,\quad x-y=-4.$$
Решим систему:
$$ \begin{cases} x+y=2,\\ x-y=-4. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$2x=-2,\quad x=-1.$$
Тогда
$$-1+y=2,\quad y=3.$$
г) Пусть $$a=\frac{1}{x+y}, \quad b=\frac{1}{x-y}.$$ Тогда
$$ \begin{cases} 6a+b=1,\\ 9a-6b=-1. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$b=1-6a.$$
Подставим во второе:
$$9a-6(1-6a)=-1,$$
$$9a-6+36a=-1,$$
$$45a=5,\quad a=\frac19.$$
Тогда
$$b=1-6\cdot \frac19=\frac13.$$
Следовательно,
$$\frac{1}{x+y}=\frac19,\quad \frac{1}{x-y}=\frac13,$$
откуда
$$x+y=9,\quad x-y=3.$$
Решим систему:
$$ \begin{cases} x+y=9,\\ x-y=3. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$2x=12,\quad x=6.$$
Тогда
$$6+y=9,\quad y=3.$$