Упр.1.93 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)
а) v3 + v5 и v2 + v6;
б) v5 + v6 и v3 + v8;
в) v15 + v17 и 8;
г) 16 и v65 + v63;
д) v8 — v2 и v10 — v3;
е) v17 — v6 и v12 — v3;
ж) (v5 — v3) / 2 и (v7 — v5) / 2;
з) (v15 — v14) / 3 и (v14 — v13) / 3;
Совет. Воспользуйтесь рассуждением, приведённым в примере 4.
а) Сравним суммы:
$$\sqrt{3}+\sqrt{5}\ \text{и}\ \sqrt{2}+\sqrt{6}.$$
Допустим, что $$\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}.$$ Тогда
$$ (\sqrt{3}+\sqrt{5})^2>(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2 $$
$$ 3+2\sqrt{15}+5>2+2\sqrt{12}+6 $$
$$ 2\sqrt{15}>2\sqrt{12} $$
$$ \sqrt{15}>\sqrt{12}, $$
что верно. Значит,
$$\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}.$$
б) Сравним:
$$\sqrt{5}+\sqrt{6}\ \text{и}\ \sqrt{3}+\sqrt{8}.$$
Допустим, что $$\sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{8}.$$ Тогда
$$ (\sqrt{5}+\sqrt{6})^2>(\sqrt{3}+\sqrt{8})^2 $$
$$ 5+2\sqrt{30}+6>3+2\sqrt{24}+8 $$
$$ 2\sqrt{30}>2\sqrt{24} $$
$$ \sqrt{30}>\sqrt{24}, $$
что верно. Значит,
$$\sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{8}.$$
в) Сравним:
$$\sqrt{15}+\sqrt{17}\ \text{и}\ 8.$$
Допустим, что $$\sqrt{15}+\sqrt{17}>8.$$ Тогда
$$ (\sqrt{15}+\sqrt{17})^2>8^2 $$
$$ 15+2\sqrt{15\cdot17}+17>64 $$
$$ 2\sqrt{255}>32 $$
$$ \sqrt{255}>16. $$
Но $$255<16^2=256,$$ значит, это неверно. Следовательно,
$$\sqrt{15}+\sqrt{17}<8.$$
г) Сравним:
$$16\ \text{и}\ \sqrt{65}+\sqrt{63}.$$
Допустим, что $$16>\sqrt{65}+\sqrt{63}.$$ Тогда
$$ 16^2>(\sqrt{65}+\sqrt{63})^2 $$
$$ 256>65+2\sqrt{65\cdot63}+63 $$
$$ 128>2\sqrt{4095} $$
$$ 64>\sqrt{4095}. $$
Но $$64^2=4096>4095,$$ значит, неравенство верно. Следовательно,
$$16>\sqrt{65}+\sqrt{63}.$$
д) Сравним:
$$\sqrt{8}-\sqrt{2}\ \text{и}\ \sqrt{10}-\sqrt{3}.$$
Допустим, что $$\sqrt{8}-\sqrt{2}>\sqrt{10}-\sqrt{3}.$$ Тогда
$$ (\sqrt{8}-\sqrt{2})^2>(\sqrt{10}-\sqrt{3})^2 $$
$$ 8-2\sqrt{16}+2>10-2\sqrt{30}+3 $$
$$ 10-8-13>-2\sqrt{30} $$
$$ 11<2\sqrt{30}. $$
Но $$11^2=121>120=4\cdot30,$$ значит, это неверно. Следовательно,
$$\sqrt{8}-\sqrt{2}<\sqrt{10}-\sqrt{3}.$$
е) Сравним:
$$\sqrt{17}-\sqrt{6}\ \text{и}\ \sqrt{12}-\sqrt{3}.$$
Допустим, что $$\sqrt{17}-\sqrt{6}>\sqrt{12}-\sqrt{3}.$$ Тогда
$$ (\sqrt{17}-\sqrt{6})^2>(\sqrt{12}-\sqrt{3})^2 $$
$$ 17-2\sqrt{102}+6>12-2\sqrt{36}+3 $$
$$ 23-2\sqrt{102}>3 $$
$$ 20>2\sqrt{102} $$
$$ 10>\sqrt{102}. $$
Но $$10^2=100<102,$$ значит, это неверно. Следовательно,
$$\sqrt{17}-\sqrt{6}<\sqrt{12}-\sqrt{3}.$$
ж) Сравним:
$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\ \text{и}\ \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}.$$
Допустим, что
$$ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}. $$
Тогда
$$ (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2>(\sqrt{7}-\sqrt{5})^2 $$
$$ 5-2\sqrt{15}+3>7-2\sqrt{35}+5 $$
$$ 2\sqrt{35}-2\sqrt{15}>4 $$
$$ \sqrt{35}-\sqrt{15}>2. $$
Возведём в квадрат:
$$ 35-2\sqrt{525}+15>4 $$
$$ 2\sqrt{525}<46 $$
$$ \sqrt{525}<23. $$
Но $$525<23^2=529,$$ значит, это верно. Следовательно,
$$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}.$$
з) Сравним:
$$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3}\ \text{и}\ \frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3}.$$
Допустим, что
$$ \frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3}<\frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3}. $$
Тогда
$$ (\sqrt{15}-\sqrt{14})^2<(\sqrt{14}-\sqrt{13})^2 $$
$$ 15-2\sqrt{210}+14<14-2\sqrt{182}+13 $$
$$ 2<2\sqrt{210}-2\sqrt{182} $$
$$ 1<\sqrt{210}-\sqrt{182}. $$
Возведём в квадрат:
$$ 1<210-2\sqrt{210\cdot182}+182 $$
$$ -391<-2\sqrt{210\cdot182} $$
$$ 391>2\sqrt{210\cdot182}. $$
После деления на $2$ получаем
$$ 14>\sqrt{210\cdot182}. $$
Но $$14^2=196<210\cdot182,$$ значит, исходное предположение неверно. Следовательно,
$$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3}>\frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3}.$$
Ответ
а) $$\sqrt{3}+\sqrt{5}>\sqrt{2}+\sqrt{6}$$; б) $$\sqrt{5}+\sqrt{6}>\sqrt{3}+\sqrt{8}$$; в) $$\sqrt{15}+\sqrt{17}<8$$; г) $$16>\sqrt{65}+\sqrt{63}$$; д) $$\sqrt{8}-\sqrt{2}<\sqrt{10}-\sqrt{3}$$; е) $$\sqrt{17}-\sqrt{6}<\sqrt{12}-\sqrt{3}$$; ж) $$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}>\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$$; з) $$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{14}}{3}>\frac{\sqrt{14}-\sqrt{13}}{3}$$.
