Упр.1.78 ГДЗ Дорофеев Суворова 9 класс (Алгебра)

а) f(x) = 2x + 1, g(x) = x — 3;
б) f(x) = -1/2x + 1, g(x) = 1/2x — 2;

а) $$f(x)=2x+1,\quad g(x)=x-3.$$

1) Обе функции отрицательны:

$$ \begin{cases} 2x+1<0 \\ x-3<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-\frac12 \\ x<3 \end{cases} $$

Значит, $$x<-\frac12,$$ то есть $$x\in(-\infty;\,-\tfrac12).$$

2) $$f(x)>0,$$ а $$g(x)<0$$:

$$ \begin{cases} 2x+1>0 \\ x-3<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-\frac12 \\ x<3 \end{cases} $$

Следовательно, $$x\in\left(-\frac12;\,3\right).$$

3) $$g(x)>0,$$ а $$f(x)<0$$:

$$ \begin{cases} 2x+1<0 \\ x-3>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<-\frac12 \\ x>3 \end{cases} $$

Таких значений $$x$$ нет.

4) Обе функции положительны:

$$ \begin{cases} 2x+1>0 \\ x-3>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-\frac12 \\ x>3 \end{cases} $$

Значит, $$x>3,$$ то есть $$x\in(3;\,+\infty).$$

б) $$f(x)=-\frac12x+1,\quad g(x)=\frac12x-2.$$

1) Обе функции отрицательны:

$$ \begin{cases} -\frac12x+1<0 \\ \frac12x-2<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>2 \\ x<4 \end{cases} $$

Следовательно, $$x\in(2;\,4).$$

2) $$f(x)>0,$$ а $$g(x)<0$$:

$$ \begin{cases} -\frac12x+1>0 \\ \frac12x-2<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<2 \\ x<4 \end{cases} $$

Значит, $$x<2,$$ то есть $$x\in(-\infty;\,2).$$

3) $$g(x)>0,$$ а $$f(x)<0$$:

$$ \begin{cases} -\frac12x+1<0 \\ \frac12x-2>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>2 \\ x>4 \end{cases} $$

Следовательно, $$x>4,$$ то есть $$x\in(4;\,+\infty).$$

4) Обе функции положительны:

$$ \begin{cases} -\frac12x+1>0 \\ \frac12x-2>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<2 \\ x>4 \end{cases} $$

Таких значений $$x$$ нет.

Ответ

а) обе отрицательны: $$(-\infty;\,-\tfrac12)$$; одна отрицательна, другая положительна: $$(-\tfrac12;\,3)$$; обе положительны: $$(3;\,+\infty)$$; при $$g(x)>0,\ f(x)<0$$ решений нет.

б) обе отрицательны: $$(2;\,4)$$; $$f(x)>0,\ g(x)<0$$: $$(-\infty;\,2)$$; $$g(x)>0,\ f(x)<0$$: $$(4;\,+\infty)$$; обе положительны: решений нет.