Упр.871 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 871. Доказываем. Докажите, что в предыдущей задаче из условия р2 < р1 следует, что р2 < р < р1.

Пусть

$$p=\frac{p_1m_1+p_2m_2}{m_1+m_2}.$$

Так как $$m_1>0$$ и $$m_2>0,$$ то $$m_1+m_2>0.$$

Докажем сначала, что $$p_2<p.$$ Для этого сравним $$p$$ с $$p_2$$:

$$ p_2<\frac{p_1m_1+p_2m_2}{m_1+m_2} $$

умножим на положительное число $$m_1+m_2$$:

$$ p_2(m_1+m_2)<p_1m_1+p_2m_2 $$

$$ p_2m_1+p_2m_2<p_1m_1+p_2m_2 $$

$$ p_2m_1<p_1m_1 $$

Так как $$m_1>0,$$ получаем:

$$p_2<p_1.$$

Значит, из условия действительно следует, что $$p_2<p.$$

Теперь докажем, что $$p<p_1$$:

$$ \frac{p_1m_1+p_2m_2}{m_1+m_2}<p_1 $$

умножим на положительное число $$m_1+m_2$$:

$$ p_1m_1+p_2m_2<p_1(m_1+m_2) $$

$$ p_1m_1+p_2m_2<p_1m_1+p_1m_2 $$

$$ p_2m_2<p_1m_2 $$

Так как $$m_2>0,$$ имеем:

$$p_2<p_1.$$

Следовательно, $$p<p_1.$$

Итак, получаем:

$$p_2<p<p_1.$$

Ответ

$$p_2<p<p_1.$$