Упр.852 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Найдите все целые значения а, при каждом из которых дробь (a3+1)/(a-1) принимала бы целые значения.

а) Пусть двузначное число имеет вид $$10a+b,$$ где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

По условию:

$$2(a+b)=ab.$$

Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

$$2a+2b-ab=0$$

$$ab-2a-2b=0$$

$$ab-2a-2b+4=4$$

$$a(b-2)-2(b-2)=4$$

$$ (a-2)(b-2)=4.$$

Рассмотрим разложения числа $$4$$ на множители:

$$4=1\cdot 4=2\cdot 2=(-1)\cdot(-4)=(-2)\cdot(-2).$$

Тогда возможны пары:

$$a-2=1,\ b-2=4 \Rightarrow a=3,\ b=6;$$

$$a-2=2,\ b-2=2 \Rightarrow a=4,\ b=4;$$

$$a-2=4,\ b-2=1 \Rightarrow a=6,\ b=3;$$

$$a-2=-1,\ b-2=-4 \Rightarrow a=1,\ b=-2 \text{ — не подходит;}$$

$$a-2=-2,\ b-2=-2 \Rightarrow a=0,\ b=0 \text{ — не подходит для двузначного числа.}$$

Значит, подходят числа $$36,$$ $$44,$$ $$63.$$

б) Рассмотрим дробь

$$\frac{a^3+1}{a-1}.$$

Разложим числитель на множители:

$$a^3+1=(a+1)(a^2-a+1).$$

Удобно представить числитель так:

$$a^3+1=(a-1)(a^2+a+1)+2.$$

Тогда

$$\frac{a^3+1}{a-1}=a^2+a+1+\frac{2}{a-1}.$$

Чтобы вся дробь была целым числом, выражение $$\frac{2}{a-1}$$ тоже должно быть целым. Значит, $$a-1$$ — делитель числа $$2$$:

$$a-1=\pm 1,\ \pm 2.$$

Отсюда:

$$a=2,\ 0,\ 3,\ -1.$$

Ответ

а) $$36,\ 44,\ 63.$$
б) $$a=-1,\ 0,\ 2,\ 3.$$