Упр.814 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) целые числа;
б) рациональные числа?

Подробный ответ

Пусть корни уравнения $$x^2+px+q=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

а) Если $$p$$ и $$q$$ — целые числа, то сумма и произведение корней целые. Для приведённого квадратного уравнения с целыми коэффициентами целые корни возможны, например:

$$x^2-5x+6=0,$$

его корни:

$$x_1=2,\qquad x_2=3.$$

Значит, корни могут быть целыми числами.

б) Если $$p$$ и $$q$$ — рациональные числа, то и сумма, и произведение корней рациональны. Целые числа являются частным случаем рациональных, поэтому корни также могут быть целыми числами, например:

$$x^2-\frac{5}{2}x+1=0,$$

его корни:

$$x_1=\frac{1}{2},\qquad x_2=2.$$

Следовательно, при рациональных $$p$$ и $$q$$ корни тоже могут быть целыми числами.