Упр.724 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 724

1. а)

   $$\frac{3x^2+3xy}{4xy+6ay}\cdot\left(\frac{x}{ax+ay}+\frac{3}{2x+2y}\right)$$

   Разложим на множители:
   $$3x^2+3xy=3x(x+y), \quad 4xy+6ay=2y(2x+3a),$$
   $$ax+ay=a(x+y), \quad 2x+2y=2(x+y).$$

   Тогда
   $$\frac{3x(x+y)}{2y(2x+3a)}\cdot\left(\frac{x}{a(x+y)}+\frac{3}{2(x+y)}\right) =\frac{3x(x+y)}{2y(2x+3a)}\cdot\frac{2x+3a}{2a(x+y)}.$$

   Сокращаем:
   $$\frac{3x}{4ay}.$$

2. б)

   $$\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{a+b}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right):\frac{(a+b)^2}{ab}$$

   Преобразуем:
   $$\frac{2}{a+b}\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) =\frac{2}{a+b}\cdot\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{ab}.$$

   Тогда
   $$\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}\right):\frac{(a+b)^2}{ab} =\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2b^2}\cdot\frac{ab}{(a+b)^2}.$$

   Так как $$a^2+b^2+2ab=(a+b)^2,$$ получаем
   $$\frac{(a+b)^2}{a^2b^2}\cdot\frac{ab}{(a+b)^2}=\frac{1}{ab}.$$

3. в)

   $$\left(\frac{x-1}{3x+(x-1)^2}-\frac{1-3x+x^2}{x^3-1}\right):\frac{1-2x+x^2-2x^3}{1+2x+2x^2+x^3}$$

   Разложим на множители:
   $$3x+(x-1)^2=x^2+x+1,$$
   $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1),$$
   $$1-2x+x^2-2x^3=(1-2x)(1+x^2),$$
   $$1+2x+2x^2+x^3=(1+x)(x^2+x+1).$$

   Тогда
   $$\left(\frac{x-1}{x^2+x+1}-\frac{1-3x+x^2}{(x-1)(x^2+x+1)}\right)\cdot \frac{(1+x)(x^2+x+1)}{(1-2x)(1+x^2)}.$$

   Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
   $$\frac{(x-1)^2-(1-3x+x^2)}{(x-1)(x^2+x+1)} =\frac{x^2-2x+1-1+3x-x^2}{(x-1)(x^2+x+1)} =\frac{x}{x-1}.$$

   Получаем
   $$\frac{x}{x-1}\cdot\frac{(1+x)(x^2+x+1)}{(1-2x)(1+x^2)}.$$

   После сокращения:
   $$\frac{x(1+x)}{(x-1)(1-2x)(1+x^2)}.$$

4. г)

   $$\left(\frac{a^2-ax}{a^2x+x^3}-\frac{2a^2}{x^3-ax^2+a^2x-a^3}\right)\cdot\left(1-\frac{x-1}{a}-\frac{x}{a^2}\right)$$

   Разложим знаменатели:
   $$a^2x+x^3=x(a^2+x^2),$$
   $$x^3-ax^2+a^2x-a^3=(x-a)(x^2+a^2).$$

   Тогда
   $$\left(\frac{a^2-ax}{x(a^2+x^2)}-\frac{2a^2}{(x-a)(x^2+a^2)}\right)\cdot \frac{a^2-a(x-1)-x}{a^2}.$$

   Упростим вторую скобку:
   $$a^2-a(x-1)-x=a^2-ax+a-x=(a-x)(a+1).$$

   В первой скобке вынесем множители:
   $$a^2-ax=a(a-x).$$

   Тогда
   $$\left(\frac{a(a-x)}{x(a^2+x^2)}-\frac{2a^2}{(x-a)(x^2+a^2)}\right)\cdot\frac{(a-x)(a+1)}{a^2}.$$

   После приведения и сокращения получаем:
   $$\frac{a+1}{ax}.$$

Ответ

а) $$\frac{3x}{4ay}$$; б) $$\frac{1}{ab}$$; в) $$\frac{x(1+x)}{(x-1)(1-2x)(1+x^2)}$$; г) $$\frac{a+1}{ax}$$.