Упр.719 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 719 *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 nikol8 719 827

1. $$\frac{1}{x-1}-\frac{4}{1-x}-\frac{8}{1+x}+\frac{3x-7}{x^2-1}$$

   Так как $$1-x=-(x-1)$$, $$1+x=x+1$$, $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$, получаем:

   $$\frac{1}{x-1}+\frac{4}{x-1}-\frac{8}{x+1}+\frac{3x-7}{(x-1)(x+1)}$$

   Приведём к общему знаменателю $$ (x-1)(x+1) $$:

   $$ \frac{x+1+4(x+1)-8(x-1)+3x-7}{(x-1)(x+1)} $$

   $$ \frac{x+1+4x+4-8x+8+3x-7}{(x-1)(x+1)} = \frac{6}{(x-1)(x+1)} = \frac{6}{x^2-1} $$

2. $$ \frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{ab(a+2b)}{a^3-b^3} $$

   Используем разложение:
   $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

   Тогда
   $$ \frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{ab(a+2b)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} $$

   Приведём к общему знаменателю $$ (a-b)(a^2+ab+b^2) $$:

   $$ \frac{a(a^2+ab+b^2)+b^2(a-b)-ab(a+2b)}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} $$

   $$ \frac{a^3+a^2b+ab^2+ab^2+b^3-a^2b-2ab^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^3-b^3}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} =1 $$

3. $$ \frac{1}{x+y}+\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}-\frac{x(x-y)}{x^3+y^3} $$

   Так как
   $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$
   приводим к общему знаменателю:

   $$ \frac{x^2-xy+y^2+(x+y)^2-x(x-y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} $$

   $$ \frac{x^2-xy+y^2+x^2+2xy+y^2-x^2+xy}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{x^2+2xy+2y^2}{x^3+y^3} $$

Ответ

а) $$\frac{6}{x^2-1}$$; б) $$1$$; в) $$\frac{x^2+2xy+2y^2}{x^3+y^3}$$.