Упр.560 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) На выполнение работы двум штукатурам требуется 12 ч. Если бы сначала первый сделал половину работы, а затем другой — оставшуюся часть, то вся работа была бы выполнена за 25 ч. За какое время мог бы выполнить всю работу каждый штукатур в отдельности?

а) Пусть первый трактор вспахивает за час $$x$$ части поля, а второй — $$y$$ части поля.

Тогда за 9 часов вместе они вспашут всё поле:

$$9(x+y)=1.$$

По условию, если первый трактор работал $$1{,}2$$ ч, а второй — $$2$$ ч, то было вспахано $$20\%=\frac15$$ поля:

$$1{,}2x+2y=\frac15.$$

Так как $$1{,}2=\frac65$$, получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y=\frac19,\\ \frac65x+2y=\frac15. \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $$5$$:

$$6x+10y=1.$$

Из первого уравнения $$x=\frac19-y$$. Подставим:

$$ 6\left(\frac19-y\right)+10y=1 $$

$$ \frac69-6y+10y=1 $$

$$ 4y=1-\frac69=\frac13 $$

$$ y=\frac1{12}. $$

Тогда

$$ x=\frac19-\frac1{12}=\frac4{36}-\frac3{36}=\frac1{36}. $$

Значит, первый трактор вспашет поле за $$36$$ ч, второй — за $$12$$ ч.

б) Пусть первый штукатур выполняет за час $$x$$ части работы, а второй — $$y$$ части работы.

Тогда вместе они выполняют работу за 12 ч:

$$12(x+y)=1,$$

то есть

$$x+y=\frac1{12}.$$

Если сначала первый сделает половину работы, а затем второй — оставшуюся половину, то время составит 25 ч:

$$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}=25.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y=\frac1{12},\\ \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}=25. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ \frac{x+y}{2xy}=25. $$

Так как $$x+y=\frac1{12}$$, то

$$ \frac{1/12}{2xy}=25 \quad \Rightarrow \quad xy=\frac1{600}. $$

Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения

$$ t^2-\frac1{12}t+\frac1{600}=0. $$

Умножим на $$600$$:

$$ 600t^2-50t+1=0. $$

$$ D=50^2-4\cdot600\cdot1=2500-2400=100. $$

$$ t=\frac{50\pm10}{1200}. $$

Отсюда

$$ t_1=\frac1{20}, \qquad t_2=\frac1{30}. $$

Значит, один штукатур выполняет всю работу за $$20$$ ч, другой — за $$30$$ ч.

Ответ

а) $$36$$ ч и $$12$$ ч; б) $$20$$ ч и $$30$$ ч.