Упр.543 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
x+y=2,
9×2-3xy+y=1;
б) система
x-3y=1,
2xy-x2+9y2=11-4x;
в) система
2x+y=1,
3×2=(y-2)2-2x;
г) система
x-4y=10,
(x-1)2=7(x+y)+1;
д) система
7x-y=3,
14xy-5y2-7x+9=8y;
е) система
x-y=2,
3×2-5yx+8y2-3x+4y=15;
ж) система
x-y=1,
x2-2xy+4y=5;
з) система
x+y=2,
x2+3xy-y2+4y=1.
а) Из первого уравнения $$y=2-x$$. Подставим во второе:
$$9x^2-3x(2-x)+(2-x)=1$$
$$9x^2-6x+3x^2+2-x-1=0$$
$$12x^2-7x+1=0$$
$$D=49-48=1$$
$$x_1=\frac{7-1}{24}=\frac14,\quad x_2=\frac{7+1}{24}=\frac13$$
Тогда
$$y_1=2-\frac14=\frac74,\quad y_2=2-\frac13=\frac53$$
Ответ: $$\left(\frac14;\frac74\right),\ \left(\frac13;\frac53\right).$$
б) Из первого уравнения $$x=1+3y$$. Подставим во второе:
$$2(1+3y)y-(1+3y)^2+9y^2=11-4(1+3y)$$
$$2y+6y^2-1-6y-9y^2+9y^2=11-4-12y$$
$$6y^2+8y-8=0$$
$$3y^2+4y-4=0$$
$$D=16+48=64$$
$$y_1=\frac{-4-8}{6}=-2,\quad y_2=\frac{-4+8}{6}=\frac23$$
Тогда
$$x_1=1+3(-2)=-5,\quad x_2=1+3\cdot\frac23=3$$
Ответ: $$(-5;-2),\ (3;\frac23).$$
в) Из первого уравнения $$y=1-2x$$. Подставим во второе:
$$3x^2=(1-2x-2)^2-2x$$
$$3x^2=( -1-2x)^2-2x$$
$$3x^2=1+4x+4x^2-2x$$
$$x^2+2x+1=0$$
$$ (x+1)^2=0,\quad x=-1$$
$$y=1-2(-1)=3$$
Ответ: $$(-1;3).$$
г) Из первого уравнения $$x=10+4y$$. Подставим во второе:
$$ (10+4y-1)^2=7(10+4y+y)+1$$
$$ (9+4y)^2=7(10+5y)+1$$
$$81+72y+16y^2=71+35y$$
$$16y^2+37y+10=0$$
$$D=37^2-4\cdot16\cdot10=729$$
$$y_1=\frac{-37-27}{32}=-2,\quad y_2=\frac{-37+27}{32}=-\frac{5}{16}$$
Тогда
$$x_1=10+4(-2)=2,\quad x_2=10+4\left(-\frac{5}{16}\right)=\frac{35}{4}$$
Ответ: $$ (2;-2),\ \left(\frac{35}{4};-\frac{5}{16}\right).$$
д) Из первого уравнения $$y=7x-3$$. Подставим во второе:
$$14x(7x-3)-5(7x-3)^2-7x+9=8(7x-3)$$
$$49x^2-35x+4=0$$
$$D=1225-784=441$$
$$x_1=\frac{35-21}{98}=\frac17,\quad x_2=\frac{35+21}{98}=\frac47$$
Тогда
$$y_1=7\cdot\frac17-3=-2,\quad y_2=7\cdot\frac47-3=1$$
Ответ: $$\left(\frac17;-2\right),\ \left(\frac47;1\right).$$
е) Из первого уравнения $$x=2+y$$. Подставим во второе:
$$3(2+y)^2-5y(2+y)+8y^2-3(2+y)+4y=15$$
$$6y^2+3y-9=0$$
$$2y^2+y-3=0$$
$$D=25$$
$$y_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac32,\quad y_2=\frac{-1+5}{4}=1$$
Тогда
$$x_1=2-\frac32=\frac12,\quad x_2=2+1=3$$
Ответ: $$\left(\frac12;-\frac32\right),\ (3;1).$$
ж) Из первого уравнения $$x=1+y$$. Подставим во второе:
$$ (1+y)^2-2(1+y)y+4y=5$$
$$1+2y+y^2-2y-2y^2+4y-5=0$$
$$y^2-4y+4=0$$
$$ (y-2)^2=0,\quad y=2$$
$$x=1+2=3$$
Ответ: $$ (3;2).$$
з) Из первого уравнения $$y=2-x$$. Подставим во второе:
$$x^2+3x(2-x)-(2-x)^2+4(2-x)=1$$
$$x^2+6x-3x^2-4+4x-x^2+8-4x=1$$
$$-3x^2+6x+3=0$$
$$x^2-2x-1=0$$
$$D=8$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2$$
Тогда
$$y_1=2-(1-\sqrt2)=1+\sqrt2,\quad y_2=2-(1+\sqrt2)=1-\sqrt2$$
Ответ: $$ (1-\sqrt2;\,1+\sqrt2),\ (1+\sqrt2;\,1-\sqrt2).$$
Ответ
а) $$\left(\frac14;\frac74\right),\ \left(\frac13;\frac53\right)$$; б) $$(-5;-2),\ (3;\frac23)$$; в) $$(-1;3)$$; г) $$ (2;-2),\ \left(\frac{35}{4};-\frac{5}{16}\right)$$; д) $$\left(\frac17;-2\right),\ \left(\frac47;1\right)$$; е) $$\left(\frac12;-\frac32\right),\ (3;1)$$; ж) $$ (3;2)$$; з) $$ (1-\sqrt2;\,1+\sqrt2),\ (1+\sqrt2;\,1-\sqrt2).$$
