Упр.348 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
б) |х + 3| = 3х — 1;
в) |х2 — 4х + 1| = 2х — 4;
г) |х2 — 6х + 6| = 2х — 6;
д) |х2 — 5х + 5| = х2 — 6х + 7;
е) |х2-х-1| = х2-2х- 1;
ж) |х2 — 4х + 2| = х2 — 8х + 14;
з) |х2 — 4| = х2 — 6х + 8;
и) |х2 — 8х + 11| = х2 — 10х + 25;
к) |х2 — 6х + 5| = х2 — 5.
а) $$|x-2|=2x-1$$
Правая часть неотрицательна: $$2x-1\ge 0,\; x\ge \frac12.$$
Возведём в квадрат:
$$ (x-2)^2=(2x-1)^2 $$
$$ x^2-4x+4=4x^2-4x+1 $$
$$ 3x^2-3=0,\quad x^2=1 $$
$$x=-1,\; x=1.$$
Проверка: $$x=-1$$ не подходит, $$x=1$$ подходит.
б) $$|x+3|=3x-1$$
$$3x-1\ge 0,\; x\ge \frac13.$$
$$ (x+3)^2=(3x-1)^2 $$
$$ x^2+6x+9=9x^2-6x+1 $$
$$ 8x^2-12x-8=0,\quad 2x^2-3x-2=0 $$
$$ D=25,\quad x_1=-\frac12,\; x_2=2 $$
По ОДЗ подходит только $$x=2$$.
в) $$|x^2-4x+1|=2x-4$$
$$2x-4\ge 0,\; x\ge 2.$$
$$ (x^2-4x+1)^2=(2x-4)^2 $$
$$ \bigl(x^2-4x+1-(2x-4)\bigr)\bigl(x^2-4x+1+(2x-4)\bigr)=0 $$
$$ (x^2-6x+5)(x^2-2x-3)=0 $$
$$ x^2-6x+5=0 \Rightarrow x=1,\;5 $$
$$ x^2-2x-3=0 \Rightarrow x=-1,\;3 $$
С учётом $$x\ge 2$$ получаем $$x=3,\;5$$.
г) $$|x^2-6x+6|=2x-6$$
$$2x-6\ge 0,\; x\ge 3.$$
$$ (x^2-6x+6)^2=(2x-6)^2 $$
$$ \bigl(x^2-6x+6-(2x-6)\bigr)\bigl(x^2-6x+6+(2x-6)\bigr)=0 $$
$$ (x^2-8x+12)(x^2-4x)=0 $$
$$ x(x-4)(x^2-8x+12)=0 $$
$$ x=0,\;4,\;2,\;6 $$
По ОДЗ подходит $$x=4,\;6$$.
д) $$|x^2-5x+5|=x^2-6x+7$$
$$ (x^2-5x+5)^2=(x^2-6x+7)^2 $$
$$ \bigl((x^2-5x+5)-(x^2-6x+7)\bigr)\bigl((x^2-5x+5)+(x^2-6x+7)\bigr)=0 $$
$$ (x-2)(2x^2-11x+12)=0 $$
$$ x=2 $$
$$ 2x^2-11x+12=0,\quad D=25 $$
$$ x_1=\frac32,\; x_2=4 $$
Проверка показывает, что подходят $$x=\frac32$$ и $$x=4$$.
е) $$|x^2-x-1|=x^2-2x-1$$
$$ (x^2-x-1)^2=(x^2-2x-1)^2 $$
$$ \bigl((x^2-x-1)-(x^2-2x-1)\bigr)\bigl((x^2-x-1)+(x^2-2x-1)\bigr)=0 $$
$$ x(2x^2-3x-2)=0 $$
$$ x=0 $$
$$ 2x^2-3x-2=0,\quad D=25 $$
$$ x_1=-\frac12,\; x_2=2 $$
Проверка: подходит только $$x=-\frac12$$.
ж) $$|x^2-4x+2|=x^2-8x+14$$
$$ (x^2-4x+2)^2=(x^2-8x+14)^2 $$
$$ \bigl((x^2-4x+2)-(x^2-8x+14)\bigr)\bigl((x^2-4x+2)+(x^2-8x+14)\bigr)=0 $$
$$ (4x-12)(2x^2-12x+16)=0 $$
$$ 4(x-3)(x^2-6x+8)=0 $$
$$ x=3,\; x^2-6x+8=0 $$
$$ x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0 $$
Получаем $$x=2,\;3,\;4$$.
з) $$|x^2-4|=x^2-6x+8$$
$$ (x^2-4)^2=(x^2-6x+8)^2 $$
$$ \bigl((x^2-4)-(x^2-6x+8)\bigr)\bigl((x^2-4)+(x^2-6x+8)\bigr)=0 $$
$$ (6x-12)(2x^2-6x+4)=0 $$
$$ 12(x-2)(x^2-3x+2)=0 $$
$$ x=2,\quad x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0 $$
Получаем $$x=1,\;2$$.
и) $$|x^2-8x+11|=x^2-10x+25$$
$$ (x^2-8x+11)^2=(x^2-10x+25)^2 $$
$$ \bigl((x^2-8x+11)-(x^2-10x+25)\bigr)\bigl((x^2-8x+11)+(x^2-10x+25)\bigr)=0 $$
$$ (2x-14)(2x^2-18x+36)=0 $$
$$ 4(x-7)(x^2-9x+18)=0 $$
$$ x=7,\quad x^2-9x+18=(x-3)(x-6)=0 $$
Получаем $$x=3,\;6,\;7$$.
к) $$|x^2-6x+5|=x^2-5$$
$$ (x^2-6x+5)^2=(x^2-5)^2 $$
$$ \bigl((x^2-6x+5)-(x^2-5)\bigr)\bigl((x^2-6x+5)+(x^2-5)\bigr)=0 $$
$$ (-6x+10)(2x^2-6x)=0 $$
$$ 4x(3x-5)(x-3)=0 $$
$$ x=0,\; \frac53,\; 3 $$
Проверка показывает, что подходит только $$x=3$$.
Ответ
а) $$x=1$$; б) $$x=2$$; в) $$x=3,\,5$$; г) $$x=4,\,6$$; д) $$x=\frac32,\,4$$; е) $$x=-\frac12$$; ж) $$x=2,\,3,\,4$$; з) $$x=1,\,2$$; и) $$x=3,\,6,\,7$$; к) $$x=3$$.
