Дополнительная задача 6 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

а) квадратичной;
б) линейной;
в) постоянной;
г) возрастающей;
д) квадратичной и ограниченной снизу;
е) квадратичной и ограниченной сверху?
Пусть ас ? 0.
а) Докажите, что уравнения ах^2 + bх + с = 0 и сх^2 + bх + а = 0 имеют одинаковое число корней.
б) Корни уравнения ах^2 + bх + с = 0 имеют разные знаки. Сколько корней имеет уравнение ах^2 + 2bх + 4с = 0?
в) Разность корней уравнения ах^2 + bх + с = 0 равна 3. Сколько корней имеет уравнение а^3 х^2 + b^3 х + с^3? = 0?
г) Уравнение ах^2 + bх + с = 0 имеет единственный корень. Сколько корней имеет уравнение 4ах^2 + 2bх + с = 0?
д) Уравнение ах^2 + bх + с = 0 имеет единственный корень. Сколько корней имеет уравнение сх^2 — (b + 1)х + а = 0 при b < -0,5? е) Уравнение ах^2 + bх + с = 0 не имеет корней. Сколько корней имеет уравнение ах^2 + (2b + 1)х + 4с = 0 при b < -0,25?

Пусть $$ac \ne 0$$, тогда $$a \ne 0$$ и $$c \ne 0$$.

1. $$ax^2+bx+c=0$$ и $$cx^2+bx+a=0$$.

   У первого уравнения дискриминант

   $$D_1=b^2-4ac,$$

   у второго:

   $$D_2=b^2-4ca=b^2-4ac.$$

   Дискриминанты равны, значит, уравнения имеют одинаковое число корней.

2. Если корни уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ имеют разные знаки, то $$c/a<0$$, то есть $$ac<0$$.

   Для уравнения $$ax^2+2bx+4c=0$$ дискриминант равен

   $$D=4b^2-16ac=4(b^2-4ac).$$

   Так как при $$ac<0$$ имеем $$b^2-4ac>0$$, то $$D>0$$. Следовательно, второе уравнение имеет два корня.

3. Разность корней уравнения $$ax^2+bx+c=0$$ равна 3, значит, у него два различных корня, то есть

   $$D=b^2-4ac>0.$$

   Для уравнения $$a^3x^2+b^3x+c^3=0$$ дискриминант:

   $$D=b^6-4a^3c^3=(b^2)^3-(2\sqrt{ac})^6?$$

   Удобнее записать так:

   $$D=b^6-4a^3c^3=(b^2-4ac)(b^4+4ab^2c+16a^2c^2),$$

   поэтому при $$b^2-4ac>0$$ получаем $$D>0$$. Значит, второе уравнение имеет два корня.

4. Если уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет единственный корень, то

   $$D=b^2-4ac=0.$$

   Для уравнения $$4ax^2+2bx+c=0$$ дискриминант:

   $$D=(2b)^2-4\cdot 4a \cdot c=4b^2-16ac=4(b^2-4ac)=0.$$

   Следовательно, второе уравнение тоже имеет один корень.

5. Если уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ имеет единственный корень, то

   $$b^2-4ac=0.$$

   Для уравнения $$cx^2-(b+1)x+a=0$$ дискриминант:

   $$D=(b+1)^2-4ac=b^2+2b+1-4ac=(b^2-4ac)+2b+1.$$

   Так как $$b<-0{,}5$$, то $$2b+1<0$$. Значит,

   $$D<0.$$

   Следовательно, второе уравнение не имеет корней.

6. Если уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ не имеет корней, то

   $$b^2-4ac<0.$$

   Для уравнения $$ax^2+(2b+1)x+4c=0$$ дискриминант:

   $$D=(2b+1)^2-16ac=4b^2+4b+1-16ac=4(b^2-4ac)+4b+1.$$

   Так как $$b<-0{,}25$$, то $$4b+1<0$$. Следовательно,

   $$D<0.$$

   Значит, второе уравнение не имеет корней.

Ответ

а) одинаковое число корней; б) два корня; в) два корня; г) один корень; д) не имеет корней; е) не имеет корней.