Упр.38.2 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
(2р — 3)х^2 + (3р — 6)x + р^2 — 9 = 0
является:
а) квадратным;
б) неполным квадратным;
в) полным неприведённым квадратным;
г) полным приведённым квадратным;
д) неполным неприведённым квадратным;
е) линейным?
Не решая уравнение, определите, имеет ли оно корни. Для
уравнении, имеющих корни, найдите их сумму и произведение:
а) x^2 — 6x = 0; г) x^2 + 5x = 0;
б) 2x^2 + 3 = 0; д) 7x^2 — 1 = 0;
в) x^2 — (v2 + 1)x = 0; е) x^2 + v7 x = 0.
Рассмотрим уравнение
$$ (2p-3)x^2+(3p-6)x+p^2-9=0. $$
Обозначим коэффициенты:
$$ a=2p-3,\quad b=3p-6,\quad c=p^2-9. $$
а) Квадратное уравнение — если $$a\ne 0$$.
$$2p-3\ne 0,\quad p\ne \frac32.$$
б) Неполное квадратное уравнение — если $$b=0$$ или $$c=0$$.
$$3p-6=0 \Rightarrow p=2,$$
или
$$p^2-9=0 \Rightarrow p=\pm 3.$$
в) Полное неприведённое квадратное уравнение — если $$a\ne 0,\ a\ne 1,\ b\ne 0,\ c\ne 0.$$
Исключим значения параметра:
$$2p-3\ne 0,\quad 2p-3\ne 1,\quad 3p-6\ne 0,\quad p^2-9\ne 0.$$
Отсюда
$$p\ne \frac32,\quad p\ne 2,\quad p\ne \pm 3.$$
г) Полное приведённое квадратное уравнение — если $$a=1,\ b\ne 0,\ c\ne 0.$$
$$2p-3=1 \Rightarrow p=2,$$
но при $$p=2$$ имеем $$b=3p-6=0,$$ значит такое уравнение не получается.
Следовательно, ни при каких значениях $$p$$.
д) Неполное неприведённое квадратное уравнение — если $$a\ne 0,\ a\ne 1,\ b=0$$ или $$c=0.$$
Подходят значения:
$$p=2,\quad p=\pm 3.$$
е) Линейное уравнение — если $$a=0,\ b\ne 0.$$
$$2p-3=0 \Rightarrow p=\frac32,$$
и тогда
$$3p-6=\frac92-6=-\frac32\ne 0.$$
Значит, уравнение линейное при $$p=\frac32.$$
Теперь рассмотрим уравнения и определим, есть ли у них корни. Если корни есть, найдём их сумму и произведение по формулам Виета.
$$x^2-6x=0$$
$$D=36>0,$$ значит, два корня.
$$x_1+x_2=6,\quad x_1x_2=0.$$
$$2x^2+3=0$$
$$D=0-4\cdot 2\cdot 3=-24<0,$$ корней нет.
$$x^2-(\sqrt2+1)x=0$$
$$D=(\sqrt2+1)^2=3+2\sqrt2>0,$$ значит, два корня.
$$x_1+x_2=\sqrt2+1,\quad x_1x_2=0.$$
$$x^2+5x=0$$
$$D=25>0,$$ значит, два корня.
$$x_1+x_2=-5,\quad x_1x_2=0.$$
$$7x^2-1=0$$
$$D=28>0,$$ значит, два корня.
$$x_1+x_2=0,\quad x_1x_2=-\frac17.$$
$$x^2+\sqrt7\,x=0$$
$$D=7>0,$$ значит, два корня.
$$x_1+x_2=-\sqrt7,\quad x_1x_2=0.$$
Ответ
а) $$p\ne \frac32$$;
б) $$p=2,\ \pm 3$$;
в) $$p\ne \frac32,\ 2,\ \pm 3$$;
г) ни при каких значениях $$p$$;
д) $$p=2,\ \pm 3$$;
е) $$p=\frac32$$.
Для уравнений: 1) два корня, $$x_1+x_2=6,\ x_1x_2=0$$; 2) корней нет; 3) два корня, $$x_1+x_2=\sqrt2+1,\ x_1x_2=0$$; 4) два корня, $$x_1+x_2=-5,\ x_1x_2=0$$; 5) два корня, $$x_1+x_2=0,\ x_1x_2=-\frac17$$; 6) два корня, $$x_1+x_2=-\sqrt7,\ x_1x_2=0$$.
