Упр.2.20 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 8 класс, Просвещение: Одному из учащихся было поручено написать заметку в стенгазету об успеваемости класса за первое полугодие. Он взял журнал и выписал следующие сведения: из 40 учащихся класса не имеют троек по русскому языку 25 человек, по математике 28, по физике — 31, по математике и по физике — 22, по математике и по русскому языку — 16, по физике и по русскому языку — 16, 12 человек учатся без троек по всем предметам. Редактор заподозрил, что в заметке приведены неверные данные. Составьте схему Эйлера и объясните, почему редактор прав.

Подробный ответ

Обозначим через R — учащихся без троек по русскому языку, через M — по математике, через P — по физике.

По условию:

$$|R|=25$$, $$|M|=28$$, $$|P|=31$$;
$$|M \cap P|=22$$, $$|M \cap R|=16$$, $$|P \cap R|=16$$;
$$|R \cap M \cap P|=12$$.

Найдём, сколько учащихся имеют тройки только по одному предмету, только по двум предметам и по всем трём.

Сначала определим числа в пересечениях только двух множеств:

$$ |M \cap P| — |R \cap M \cap P| = 22 — 12 = 10, $$
$$ |M \cap R| — |R \cap M \cap P| = 16 — 12 = 4, $$
$$ |P \cap R| — |R \cap M \cap P| = 16 — 12 = 4. $$

Теперь найдём, сколько учащихся имеют тройки только по одному предмету:

$$ |R| — 4 — 4 — 12 = 25 — 4 — 4 — 12 = 5, $$
$$ |M| — 10 — 4 — 12 = 28 — 10 — 4 — 12 = 2, $$
$$ |P| — 10 — 4 — 12 = 31 — 10 — 4 — 12 = 5. $$

Тогда число учащихся, имеющих тройки хотя бы по одному предмету, равно

$$ 5 + 2 + 5 + 4 + 10 + 4 + 12 = 42. $$

Но в классе всего 40 человек. Получилось, что учащихся больше, чем есть в классе, значит, данные в заметке противоречивы.