Упр.13.7 ГДЗ Мордкович Семенов 8 класс (Алгебра)
а) (2p^2 + 9)/(p + 5)^4 — (p^2 — 4p)/(p + 5)^4 + (2(3p + 8))/(p + 5)^4 положительно;
б) (3(3 — a^2))/(a — 7)^2 + (2a(a — 1))/(a — 7)^2 — (5(5 — 2a))/(a — 7)^2 отрицательно.
а) Приведём дроби к общему знаменателю:
$$ \frac{2p^2+9}{(p+5)^4}-\frac{p^2-4p}{(p+5)^4}+\frac{2(3p+8)}{(p+5)^4} = \frac{2p^2+9-(p^2-4p)+2(3p+8)}{(p+5)^4} $$
$$ = \frac{2p^2+9-p^2+4p+6p+16}{(p+5)^4} = \frac{p^2+10p+25}{(p+5)^4} = \frac{(p+5)^2}{(p+5)^4} = \frac{1}{(p+5)^2} $$
При всех допустимых значениях переменной $$p \ne -5$$ имеем $$ (p+5)^2>0 $$, значит
$$ \frac{1}{(p+5)^2}>0. $$
б) Аналогично приведём дроби к общему знаменателю:
$$ \frac{3(3-a^2)}{(a-7)^2}+\frac{2a(a-1)}{(a-7)^2}-\frac{5(5-2a)}{(a-7)^2} = \frac{3(3-a^2)+2a(a-1)-5(5-2a)}{(a-7)^2} $$
$$ = \frac{9-3a^2+2a^2-2a-25+10a}{(a-7)^2} = \frac{-a^2+8a-16}{(a-7)^2} = \frac{-(a^2-8a+16)}{(a-7)^2} = \frac{-(a-4)^2}{(a-7)^2} $$
Так как $$a \ne 7$$, то $$ (a-7)^2>0 $$, а $$-(a-4)^2 \le 0$$ и равно нулю только при $$a=4$$. Следовательно, при всех допустимых значениях переменной выражение не положительно, а при $$a \ne 4$$ — отрицательно.
Ответ
а) $$\frac{1}{(p+5)^2}>0$$ при $$p \ne -5$$;
б) $$\frac{-(a-4)^2}{(a-7)^2}\le 0$$ при $$a \ne 7$$, а при $$a \ne 4,\,7$$ — $$<0$$.
