Упр.37.37 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) имеет два различных корня;
б) имеет один корень;
в) не имеет корней?

Рассмотрим квадратное уравнение

$$2x^2-2px+p+12=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-2p)^2-4\cdot 2\cdot (p+12)=4p^2-8p-96.$$

Вынесем общий множитель:

$$D=4(p^2-2p-24).$$

Так как $$4>0,$$ знак дискриминанта определяется выражением $$p^2-2p-24.$$

Разложим его на множители:

$$p^2-2p-24=(p-6)(p+4).$$

Тогда:

• два различных корня, если $$D>0,$$ то есть $$p^2-2p-24>0,$$
• один корень, если $$D=0,$$ то есть $$p^2-2p-24=0,$$
• корней нет, если $$D<0,$$ то есть $$p^2-2p-24<0.$$

Решим соответствующие неравенства и уравнение:

$$ (p-6)(p+4)>0 \Rightarrow p\in(-\infty;-4)\cup(6;+\infty), $$

$$ (p-6)(p+4)=0 \Rightarrow p=-4 \text{ или } p=6, $$

$$ (p-6)(p+4)<0 \Rightarrow p\in(-4;6). $$

Ответ

а) $$p\in(-\infty;-4)\cup(6;+\infty);$$

б) $$p=-4,\; p=6;$$

в) $$p\in(-4;6).$$