Упр.32.41 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович 8 класс, Мнемозина: 29.41. Дано уравнение x2 — (2р2 — р — 6)x + (8р — 1) = 0. Известно, что сумма его корней равна -5. Найдите значения параметра р.

По теореме Виета для уравнения

$$x^2-(2p^2-p-6)x+(8p-1)=0$$

сумма корней равна

$$x_1+x_2=2p^2-p-6.$$

По условию $$x_1+x_2=-5$$, значит

$$2p^2-p-6=-5,$$

$$2p^2-p-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9,$$

$$p=\frac{1\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$p_1=-\frac12,\qquad p_2=1.$$

Проверим, при каких значениях параметра уравнение имеет корни.

1) При $$p=-\frac12$$:

$$x^2-\left(2\cdot\left(-\frac12\right)^2+\frac12-6\right)x+\left(8\cdot\left(-\frac12\right)-1\right)=0,$$

$$x^2+5x-5=0.$$

Дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-5)=25+20=45>0,$$

значит, уравнение имеет два корня.

2) При $$p=1$$:

$$x^2-(2\cdot 1^2-1-6)x+(8\cdot 1-1)=0,$$

$$x^2+5x+7=0.$$

Дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 7=25-28=-3<0,$$

корней нет.

Следовательно, подходит только значение $$p=-\frac12$$.

Ответ

$$p=-\frac12$$