Упр.23.20 ГДЗ Мордкович 8 класс (Алгебра)

а) область определения функции;
б) множество значений функции;
в) координаты точек пересечения графика с осями координат;
г) значения аргумента, при которых у > 0, у < 0.

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x+1}-2.$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x+1\ge 0,$$

откуда

$$x\ge -1.$$

Значит, область определения функции:

$$D(y)=[-1;+\infty).$$

Так как $$\sqrt{x+1}\ge 0,$$ то

$$y=\sqrt{x+1}-2\ge -2.$$

Следовательно, множество значений функции:

$$E(y)=[-2;+\infty).$$

Найдём точки пересечения с осями координат.

С осью $$Oy$$ график пересекается при $$x=0$$:

$$y=\sqrt{0+1}-2=1-2=-1,$$

значит, точка пересечения — $$\left(0;-1\right).$$

С осью $$Ox$$ график пересекается при $$y=0$$:

$$\sqrt{x+1}-2=0,$$

$$\sqrt{x+1}=2,$$

$$x+1=4,$$

$$x=3.$$

Значит, точка пересечения — $$\left(3;0\right).$$

Теперь определим, где $$y>0$$ и где $$y<0$$.

$$y>0 \iff \sqrt{x+1}-2>0 \iff \sqrt{x+1}>2 \iff x>3.$$

С учётом области определения получаем:

$$y>0 \text{ при } x\in(3;+\infty).$$

Аналогично:

$$y<0 \iff \sqrt{x+1}-2<0 \iff \sqrt{x+1}<2 \iff x<3.$$

С учётом области определения:

$$y<0 \text{ при } x\in[-1;3).$$

Ответ

а) $$[-1;+\infty)$$;
б) $$[-2;+\infty)$$;
в) $$\left(0;-1\right), \left(3;0\right)$$;
г) $$y>0$$ при $$x\in(3;+\infty),$$ $$y<0$$ при $$x\in[-1;3).$$