Упр.90 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

1) 1 — 4(х+1)= 1,8 — 1,6x;
2) 3(0,5x-4) + 8,5х = 10х — 11.
Найдите все натуральные значения n, при которых значение выражения является целым числом:
1) (8n-9)/n;
2) (n2+2n-8)/n;
3) (9n-4)/(3n-5).

Подробный ответ

1) Решим уравнение:

$$ 1-4(x+1)=1{,}8-1{,}6x $$
$$ 1-4x-4=1{,}8-1{,}6x $$
$$ -4x-3=1{,}8-1{,}6x $$
$$ -4x+1{,}6x=1{,}8+3 $$
$$ -2{,}4x=4{,}8 $$
$$ x=-2 $$

2) Решим уравнение:

$$ 3(0{,}5x-4)+8{,}5x=10x-11 $$
$$ 1{,}5x-12+8{,}5x=10x-11 $$
$$ 10x-12=10x-11 $$
$$ -12=-11 $$

Получили неверное равенство, значит, уравнение не имеет корней.

3) Найдём натуральные значения $n$, при которых выражение является целым числом.

$$ \frac{8n-9}{n}=8-\frac{9}{n} $$
Чтобы выражение было целым, число $9$ должно делиться на $n$. Тогда
$$ n=1,\ 3,\ 9. $$

$$ \frac{n^2+2n-8}{n}=n+2-\frac{8}{n} $$
Чтобы выражение было целым, число $8$ должно делиться на $n$. Тогда
$$ n=1,\ 2,\ 4,\ 8. $$

$$ \frac{9n-4}{3n-5} $$
Преобразуем:
$$ 9n-4=3(3n-5)+11 $$
Тогда
$$ \frac{9n-4}{3n-5}=3+\frac{11}{3n-5}. $$
Чтобы выражение было целым, число $11$ должно делиться на $3n-5$. Так как $11$ — простое число, то
$$ 3n-5=\pm 1,\ \pm 11. $$
Проверяем натуральные $n$:
$$ 3n-5=1 \Rightarrow n=2, $$
$$ 3n-5=-1 \Rightarrow n=\frac{4}{3}, $$
$$ 3n-5=11 \Rightarrow n=\frac{16}{3}, $$
$$ 3n-5=-11 \Rightarrow n=-2. $$
Подходит только $n=2$.