Упр.29.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 29.7. Докажите, что ?(a_n a_(n-1)…a_k a_(k-1)…a_0 )??(a_(k-1) a_(k-2)…a_0 ) (mod 5^k ).

Рассмотрим число

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}$$

и запишем его через разряды:

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}=a_n10^n+a_{n-1}10^{n-1}+\dots+a_k10^k+\dots+a_0.$$

Нужно доказать, что

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}\equiv \overline{a_{k-1}a_{k-2}\dots a_0}\pmod{5^k}.$$

Для этого заметим, что при любом $m\ge k$ число $10^m$ делится на $5^k$, так как

$$10^m=(2\cdot 5)^m$$

содержит множитель $5^k$.

Значит, все слагаемые

$$a_k10^k+a_{k+1}10^{k+1}+\dots+a_n10^n$$

кратны $5^k$ и при сравнении по модулю $5^k$ дают остаток $0$.

Тогда

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}\equiv a_{k-1}10^{k-1}+a_{k-2}10^{k-2}+\dots+a_0\pmod{5^k}.$$

Но правая часть — это и есть число

$$\overline{a_{k-1}a_{k-2}\dots a_0}.$$

Следовательно,

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}\equiv \overline{a_{k-1}a_{k-2}\dots a_0}\pmod{5^k}.$$

Ответ

$$\overline{a_n a_{n-1}\dots a_k a_{k-1}\dots a_0}\equiv \overline{a_{k-1}a_{k-2}\dots a_0}\pmod{5^k}.$$