Упр.28.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
1) (n^3+5n)/6; 2) (n(n+1)^2 (n+2))/12; 3) (n^2-1)(n^2+2n)/24.
$$\frac{n^3+5n}{6}=\frac{n^3-n+6n}{6}=\frac{n(n^2-1)+6n}{6}=\frac{(n-1)n(n+1)+6n}{6}.$$
Числа $n-1$, $n$, $n+1$ — три последовательных целых числа, значит, одно из них делится на $2$, а одно — на $3$. Следовательно, произведение $(n-1)n(n+1)$ делится на $6$. Тогда и всё выражение делится на $6$, значит, является целым числом.
$$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}.$$
Среди чисел $n$ и $n+2$ одно чётное, поэтому произведение $n(n+2)$ делится на $2$. Кроме того, среди трёх последовательных чисел $n$, $n+1$, $n+2$ одно делится на $3$. Если $n+1$ чётное, то $(n+1)^2$ делится на $4$; если чётно одно из чисел $n$ или $n+2$, то произведение $n(n+2)$ делится на $4$. Значит, всё произведение делится на $3\cdot 4=12$.
Следовательно, $$\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$$ — целое число при любом целом $n$.
$$\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}=\frac{(n-1)(n+1)n(n+2)}{24}.$$
Это произведение четырёх последовательных целых чисел $n-1$, $n$, $n+1$, $n+2$. Среди них одно число делится на $2$, одно — на $3$, а одно — на $4$. Значит, произведение делится на $2\cdot 3\cdot 4=24$.
Следовательно, $$\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}$$ — целое число при любом целом $n$.
Ответ
Во всех трёх случаях значение выражения является целым числом при любом $$n\in \mathbb{Z}$$.
