Упр.24.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) ((2x-1)/x)^2-6(2x-1)/x+5=0;
2) (3x-1)/(x+1)+(x+1)/(3x-1)=3 1/3.

1) Обозначим

$$t=\frac{2x-1}{x}, \quad x\ne 0.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$t^2-6t+5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$t^2-6t+5=(t-1)(t-5)=0,$$

откуда

$$t=1 \quad \text{или} \quad t=5.$$

1) Если $$\frac{2x-1}{x}=1,$$ то

$$2x-1=x,$$

$$x=1.$$

2) Если $$\frac{2x-1}{x}=5,$$ то

$$2x-1=5x,$$

$$-3x=1,$$

$$x=-\frac13.$$

Оба значения удовлетворяют условию $$x\ne 0.$$

2) Обозначим

$$t=\frac{3x-1}{x+1}, \quad x\ne -1.$$

Тогда

$$\frac{x+1}{3x-1}=\frac1t,$$

и уравнение принимает вид

$$t+\frac1t=3\frac13=\frac{10}{3}.$$

Умножим на $$3t$$:

$$3t^2+3=10t,$$

$$3t^2-10t+3=0.$$

Найдём корни:

$$D=100-36=64,$$

$$t=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Получаем

$$t_1=\frac13,\quad t_2=3.$$

1) Если $$\frac{3x-1}{x+1}=\frac13,$$ то

$$3(3x-1)=x+1,$$

$$9x-3=x+1,$$

$$8x=4,$$

$$x=\frac12.$$

2) Если $$\frac{3x-1}{x+1}=3,$$ то

$$3x-1=3(x+1),$$

$$3x-1=3x+3,$$

$$-1=3,$$

что невозможно, значит, корней нет.

Ответ

1) $$x=-\frac13,\; x=1.$$
2) $$x=\frac12.$$