Упр.17.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) v2•v(2+v2) •v(2+v(2+v2) ) •v(2-v(2+v2) ) =2;
2) v(2+v3) •v(2+v(2+v3) ) •v(2+v(2+v(2+v3) ) ) • v(2-v(2+v(2+v3) ) ) =1.

1) Обозначим

$$a=\sqrt{2+\sqrt2}.$$

Тогда данное выражение можно записать так:

$$\sqrt2\cdot a\cdot \sqrt{2+a}\cdot \sqrt{2-a}.$$

Перемножим последние два множителя:

$$\sqrt{2+a}\cdot \sqrt{2-a}=\sqrt{(2+a)(2-a)}=\sqrt{4-a^2}.$$

Так как $$a^2=2+\sqrt2,$$ то

$$\sqrt{4-a^2}=\sqrt{4-(2+\sqrt2)}=\sqrt{2-\sqrt2}.$$

Тогда

$$\sqrt2\cdot a\cdot \sqrt{2-a^2}=\sqrt2\cdot \sqrt{2+\sqrt2}\cdot \sqrt{2-\sqrt2}.$$

Снова перемножим корни:

$$\sqrt{2+\sqrt2}\cdot \sqrt{2-\sqrt2}=\sqrt{(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)}=\sqrt{4-2}=\sqrt2.$$

Следовательно,

$$\sqrt2\cdot \sqrt2=2.$$

Значит,

$$\sqrt2\cdot \sqrt{2+\sqrt2}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}=2.$$

2) Обозначим

$$b=\sqrt{2+\sqrt3}.$$

Тогда выражение равно

$$b\cdot \sqrt{2+b}\cdot \sqrt{2+\sqrt{2+b}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+b}}}.$$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$\sqrt{2+\sqrt{2+b}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+b}}}=\sqrt{(2+\sqrt{2+b})(2-\sqrt{2+\sqrt{2+b}})}.$$

Удобнее последовательно использовать тождество $$\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}=\sqrt{xy}$$ и формулу $$\left(2+\sqrt{u}\right)\left(2-\sqrt{u}\right)=4-u.$$

Тогда

$$\sqrt{2+\sqrt{2+b}}\cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+b}}}=\sqrt{4-(2+b)}=\sqrt{2-b}.$$

Получаем

$$b\cdot \sqrt{2+b}\cdot \sqrt{2-b}.$$

Теперь

$$\sqrt{2+b}\cdot \sqrt{2-b}=\sqrt{(2+b)(2-b)}=\sqrt{4-b^2}.$$

Так как $$b^2=2+\sqrt3,$$ то

$$\sqrt{4-b^2}=\sqrt{4-(2+\sqrt3)}=\sqrt{2-\sqrt3}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{2+\sqrt3}\cdot \sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\sqrt{4-3}=1.$$

Значит, всё выражение равно $$1$$.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$1$$.