Упр.864 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) к обеим частям неравенства 18 > -7 прибавить число -5; число 2,7; число 7;
б) из обеих частей неравенства 5 > -3 вычесть число 2; число 12; число -5;
в) обе части неравенства -9 < 21 умножить на 2; на -1; на —1/3; г) обе части неравенства 15 > -6 разделить на 3; на -3; на -1.
Найдите множество значений k, при которых уравнение
(k- 4)х2 + 16х- 24= 0
имеет два корня.

Используем свойства неравенств.

1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, знак неравенства не изменится:

   $$18>-7$$
   $$18+(-5)>-7+(-5)$$
   $$13>-12$$

   $$18+2{,}7>-7+2{,}7$$
   $$20{,}7>-4{,}3$$

   $$18+7>-7+7$$
   $$25>0$$

2. Если из обеих частей неравенства вычесть одно и то же число, знак неравенства не изменится:

   $$5>-3$$
   $$5-2>-3-2$$
   $$3>-5$$

   $$5-12>-3-12$$
   $$-7>-15$$

   $$5-(-5)>-3-(-5)$$
   $$10>2$$

3. При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, а при умножении на отрицательное — меняется на противоположный:

   $$-9<21$$
   $$-9\cdot 2<21\cdot 2$$
   $$-18<42$$

   $$-9\cdot(-1)>21\cdot(-1)$$
   $$9>-21$$

   $$-9\cdot\left(-\frac13\right)>21\cdot\left(-\frac13\right)$$
   $$3>-7$$

4. При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, а при делении на отрицательное — меняется на противоположный:

   $$15>-6$$
   $$15:3>-6:3$$
   $$5>-2$$

   $$15:(-3)<-6:(-3)$$
   $$-5<2$$

   $$15:(-1)<-6:(-1)$$
   $$-15<6$$

Теперь найдём значения $$k$$, при которых уравнение $$\left(k-4\right)x^2+16x-24=0$$ имеет два корня.

Для квадратного уравнения это возможно, если $$D>0$$ и $$k-4\neq 0$$.

$$D=b^2-4ac$$
$$a=k-4,\quad b=16,\quad c=-24$$

$$D=16^2-4\left(k-4\right)\left(-24\right)$$
$$D=256+96\left(k-4\right)$$
$$D=256+96k-384$$
$$D=96k-128$$

$$96k-128>0$$
$$96k>128$$
$$k>\frac{128}{96}=\frac43$$

При $$k=\frac43$$ коэффициент при $$x^2$$ равен $$-\frac83\neq 0$$, значит уравнение действительно остаётся квадратным. Следовательно, оно имеет два корня при

$$k\in\left(\frac43;+\infty\right).$$

Ответ

а) $$13>-12$$, $$20{,}7>-4{,}3$$, $$25>0$$;
б) $$3>-5$$, $$-7>-15$$, $$10>2$$;
в) $$-18<42$$, $$9>-21$$, $$3>-7$$;
г) $$5>-2$$, $$-5<2$$, $$-15<6$$;
$$k\in\left(\frac43;+\infty\right).$$