Упр.852 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) корень 6 + корень 3 и корень 7 + корень 2;
б) корень 3 + 2 и корень 6 + 1;
в) корень 5 — 2 и корень 6 — корень 3;
г) корень 10 — корень 7 и корень 11- корень 6.
1) Проведите доказательство приведённого утверждения.
2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены. Решите неравенство:
а) x/2+x/3<5;
б) 3y/2-y/3>=2;
в) x/4-x/2>-3;
г) y+y/2>3;
д) 2x/5-x<=1;
е) 3x/4-2x<0.
Если $$a>0$$ и $$b>0$$, то из условия $$a^2>b^2$$ получаем
$$a^2-b^2>0,$$
$$\left(a-b\right)\left(a+b\right)>0.$$
Так как $$a+b>0,$$ то обязательно $$a-b>0,$$ значит, $$a>b.$$
Теперь сравним числа, возводя их в квадрат.
а)
$$\left(\sqrt6+\sqrt3\right)^2-\left(\sqrt7+\sqrt2\right)^2$$
$$=6+2\sqrt{18}+3-7-2\sqrt{14}-2$$
$$=2\sqrt{18}-2\sqrt{14}>0,$$
значит, $$\sqrt6+\sqrt3>\sqrt7+\sqrt2.$$
б)
$$\left(\sqrt3+2\right)^2-\left(\sqrt6+1\right)^2$$
$$=3+4\sqrt3+4-6-2\sqrt6-1$$
$$=4\sqrt3-2\sqrt6>0,$$
значит, $$\sqrt3+2>\sqrt6+1.$$
в)
$$\left(\sqrt5-2\right)^2-\left(\sqrt6-\sqrt3\right)^2$$
$$=5-4\sqrt5+4-6+2\sqrt{18}-3$$
$$=2\sqrt{18}-4\sqrt5>0,$$
значит, $$\sqrt5-2>\sqrt6-\sqrt3.$$
г)
$$\left(\sqrt{10}-\sqrt7\right)^2-\left(\sqrt{11}-\sqrt6\right)^2$$
$$=10-2\sqrt{70}+7-11+2\sqrt{66}-6$$
$$=2\sqrt{66}-2\sqrt{70}<0,$$
значит, $$\sqrt{10}-\sqrt7<\sqrt{11}-\sqrt6.$$
Решим неравенства.
а) $$\frac{x}{2}+\frac{x}{3}<5$$
$$\frac{5x}{6}<5,$$
$$x<6.$$
б) $$\frac{3y}{2}-\frac{y}{3}\ge 2$$
$$\frac{7y}{6}\ge 2,$$
$$y\ge \frac{12}{7}.$$
в) $$\frac{x}{4}-\frac{x}{2}>-3$$
$$-\frac{x}{4}>-3,$$
$$x<12.$$
г) $$y+\frac{y}{2}>3$$
$$\frac{3y}{2}>3,$$
$$y>2.$$
д) $$\frac{2x}{5}-x\le 1$$
$$-\frac{3x}{5}\le 1,$$
$$x\ge -\frac{5}{3}.$$
е) $$\frac{3x}{4}-2x<0$$
$$-\frac{5x}{4}<0,$$
$$x>0.$$
Ответ
$$a>b.$$
а) $$\sqrt6+\sqrt3>\sqrt7+\sqrt2$$; б) $$\sqrt3+2>\sqrt6+1$$; в) $$\sqrt5-2>\sqrt6-\sqrt3$$; г) $$\sqrt{10}-\sqrt7<\sqrt{11}-\sqrt6$$.
а) $$x<6$$; б) $$y\ge \frac{12}{7}$$; в) $$x<12$$; г) $$y>2$$; д) $$x\ge -\frac{5}{3}$$; е) $$x>0$$.
