Упр.755 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа. Известно, что а, b, с и d — положительные числа, причём а > b, d < b, с> а. Расположите в порядке возрастания числа 1/a, 1/b, 1/c, 1/d.

Пусть два последовательных натуральных числа равны $$n$$ и $$n+1$$.

По условию квадрат суммы этих чисел больше суммы их квадратов на $$112$$:

$$ (n+(n+1))^2-(n^2+(n+1)^2)=112 $$

Решим уравнение:

$$ (2n+1)^2-\bigl(n^2+n^2+2n+1\bigr)=112 $$

$$ 4n^2+4n+1-2n^2-2n-1=112 $$

$$ 2n^2+2n-112=0 $$

Разделим обе части на $$2$$:

$$ n^2+n-56=0 $$

Найдём корни:

$$ D=1+4\cdot 56=225,\quad \sqrt{D}=15 $$

$$ n=\frac{-1\pm 15}{2} $$

$$ n_1=-8,\quad n_2=7 $$

Так как числа натуральные, подходит только $$n=7$$. Тогда второе число:

$$ n+1=8 $$

Теперь расположим числа $$\frac1a,\frac1b,\frac1c,\frac1d$$ по возрастанию. Из условий $$a>b$$, $$d<b$$, $$c>a$$ и положительности чисел следует:

$$ c>a>b>d $$

Для положительных чисел при большем знаменателе дробь меньше, значит:

$$ \frac1c<\frac1a<\frac1b<\frac1d $$

Ответ

$$7,\ 8$$

$$\frac1c,\ \frac1a,\ \frac1b,\ \frac1d$$