Упр.665 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Велосипедист проехал из посёлка до станции с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 5 км/ч большей. Какова была первоначальная скорость велосипедиста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составляла 12 км/ч? Цветочная клумба, имеющая форму прямоугольника, окружена дерновым бордюром, ширина которого всюду одинакова. Клумба вместе с бордюром образует прямоугольник, длина которого 4,5 м, а ширина 2,5 м. Найдите ширину бордюра, если известно, что его площадь равна 3,25 м2.

Подробный ответ

Пусть $$v$$ км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, тогда скорость на обратном пути равна $$v+5$$ км/ч.
Средняя скорость на всём пути равна $$12$$ км/ч, значит:
$$ \frac{2}{\frac{1}{v}+\frac{1}{v+5}}=12 $$
Преобразуем:
$$ \frac{2}{\frac{v+v+5}{v(v+5)}}=12 $$
$$ \frac{2v(v+5)}{2v+5}=12 $$
$$ 2v(v+5)=12(2v+5) $$
$$ 2v^2+10v=24v+60 $$
$$ 2v^2-14v-60=0 $$
$$ v^2-7v-30=0 $$
$$ D=(-7)^2-4\cdot 1\cdot(-30)=49+120=169 $$
$$ v=\frac{7\pm 13}{2} $$
$$ v_1=10,\quad v_2=-3 $$
Отрицательное значение не подходит, значит первоначальная скорость равна $$10$$ км/ч.
Пусть $$x$$ м — ширина бордюра. Тогда размеры клумбы равны $$4{,}5-2x$$ и $$2{,}5-2x$$.
Площадь бордюра равна $$3{,}25$$ м², значит площадь всей фигуры:
$$ 4{,}5\cdot 2{,}5=11{,}25 $$
Тогда площадь клумбы:
$$ 11{,}25-3{,}25=8 $$
Составим уравнение:
$$ (4{,}5-2x)(2{,}5-2x)=8 $$
$$ 11{,}25-9x-5x+4x^2=8 $$
$$ 4x^2-14x+3{,}25=0 $$
Умножим на $$4$$:
$$ 16x^2-56x+13=0 $$
$$ D=(-56)^2-4\cdot 16\cdot 13=3136-832=2304 $$
$$ x=\frac{56\pm 48}{32} $$
$$ x_1=3{,}25,\quad x_2=0{,}25 $$
Значение $$3{,}25$$ м не подходит, так как ширина бордюра не может быть больше половины меньшей стороны прямоугольника. Следовательно, $$x=0{,}25$$ м.