Упр.662 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Сплав золота и серебра содержал 40 г золота. После того как к нему добавили 50 г золота, получили новый сплав, в котором содержание золота возросло на 20%. Сколько серебра было в сплаве? Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найдите эти числа.

Пусть в сплаве было $$x$$ г серебра. Тогда масса сплава сначала равна $$x+40$$ г, а после добавления $$50$$ г золота — $$x+90$$ г.

Доля золота в новом сплаве увеличилась на $$20\% = 0{,}2$$, значит:

$$ \frac{40}{x+40}+\;0{,}2=\frac{90}{x+90} $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ \frac{40}{x+40}-\frac{90}{x+90}+0{,}2=0 $$

Умножим на $$5(x+40)(x+90)$$:

$$ 200(x+90)-450(x+40)+(x+40)(x+90)=0 $$

Раскроем скобки:

$$ 200x+18000-450x-18000+x^2+130x+3600=0 $$

$$ x^2-120x+3600=0 $$

$$ D=(-120)^2-4\cdot 1\cdot 3600=14400-14400=0 $$

$$ x=\frac{120}{2}=60 $$

Значит, в сплаве было $$60$$ г серебра.

Теперь решим вторую задачу. Пусть два последовательных натуральных числа — это $$n$$ и $$n+1$$. Тогда:

$$ (n+(n+1))^2-\bigl(n^2+(n+1)^2\bigr)=112 $$

$$ (2n+1)^2-\bigl(n^2+n^2+2n+1\bigr)=112 $$

$$ 4n^2+4n+1-2n^2-2n-1=112 $$

$$ 2n^2+2n-112=0 $$

$$ n^2+n-56=0 $$

$$ D=1+224=225 $$

$$ n=\frac{-1\pm 15}{2} $$

Получаем $$n=7$$ или $$n=-8$$. Натуральному числу соответствует только $$n=7$$.

Следовательно, числа: $$7$$ и $$8$$.

Ответ

$$60$$ г; $$7$$ и $$8$$.