Упр.607 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) x^2 — 6x — 2; в) 2x^2 — 4x + 10;
б) x^2 + 5x + 20; г) 1/2 x^2 + x — 6.
Решите уравнение:

Выделим квадрат двучлена:

а) $$x^2-6x-2=x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2-2=(x-3)^2-11;$$

б) $$x^2+5x+20=x^2+2\cdot 2{,}5x+2{,}5^2-2{,}5^2+20=(x+2{,}5)^2+13{,}75;$$

в) $$2x^2-4x+10=2(x^2-2x+5)=2(x^2-2x+1+4)=2(x-1)^2+8;$$

г) $$\frac12x^2+x-6=\frac12(x^2+2x-12)=\frac12(x^2+2x+1-13)=\frac12(x+1)^2-6{,}5.$$

Решим уравнения.

а) $$\frac{5}{y-2}-\frac{4}{y-3}=\frac{1}{y}.$$

ОДЗ: $$y\ne 2,\; y\ne 3,\; y\ne 0.$$

$$5y(y-3)-4y(y-2)=(y-2)(y-3)$$
$$5y^2-15y-4y^2+8y=y^2-3y-2y+6$$
$$y^2-7y=y^2-5y+6$$
$$-2y=6$$
$$y=-3.$$

Ответ: $$y=-3.$$

б) $$\frac{1}{2(x+1)}+\frac{1}{x+2}=\frac{3}{x+3}.$$

ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne -2,\; x\ne -3.$$

$$ (x+2)(x+3)+2(x+1)(x+3)=3\cdot 2(x+1)(x+2) $$
$$ x^2+5x+6+2(x^2+4x+3)=6(x^2+3x+2) $$
$$ x^2+5x+6+2x^2+8x+6=6x^2+18x+12 $$
$$ 3x^2+13x+12=6x^2+18x+12 $$
$$ 3x^2+5x=0 $$
$$ x(3x+5)=0 $$
$$ x=0 \quad \text{или} \quad 3x+5=0 $$
$$ x=-\frac53.$$

Ответ: $$x=0,\; x=-\frac53.$$

в) $$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x^2-2x}=\frac{8}{x^3-4x}.$$

ОДЗ: $$x\ne -2,\; x\ne 0,\; x\ne 2.$$

$$\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x(x-2)}=\frac{8}{x(x-2)(x+2)}$$
$$x(x-2)+x+2=8$$
$$x^2-2x+x+2-8=0$$
$$x^2-x-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=3.$$

Число $$x=-2$$ не подходит по ОДЗ, значит:

Ответ: $$x=3.$$

г) $$\frac{10}{y^3-y}+\frac{1}{y-y^2}=\frac{1}{1+y}.$$

ОДЗ: $$y\ne -1,\; y\ne 0,\; y\ne 1.$$

$$\frac{10}{y(y-1)(y+1)}-\frac{1}{y(y-1)}=\frac{1}{y+1}$$
$$10-(y+1)=y(y-1)$$
$$9-y=y^2-y$$
$$y^2=9$$
$$y=\pm 3.$$

Ответ: $$y=\pm 3.$$

д) $$1+\frac{45}{x^2-8x+16}=\frac{14}{x-4}.$$

ОДЗ: $$x\ne 4.$$

$$1+\frac{45}{(x-4)^2}=\frac{14}{x-4}$$
$$ (x-4)^2+45=14(x-4) $$
$$ x^2-8x+16+45=14x-56 $$
$$ x^2-22x+117=0 $$
$$ D=484-468=16 $$
$$ x_{1,2}=\frac{22\pm 4}{2} $$
$$ x_1=9,\quad x_2=13.$$

Ответ: $$x=9,\; x=13.$$

е) $$\frac{5}{x-1}-\frac{4}{3-6x+3x^2}=3.$$

ОДЗ: $$x\ne 1.$$

$$\frac{5}{x-1}-\frac{4}{3(x-1)^2}=3$$
$$5\cdot 3(x-1)-4=3\cdot 3(x-1)^2$$
$$15x-15-4=9(x^2-2x+1)$$
$$15x-19=9x^2-18x+9$$
$$9x^2-33x+28=0$$
$$D=1089-1008=81$$
$$x_{1,2}=\frac{33\pm 9}{18}$$
$$x_1=\frac43,\quad x_2=\frac73.$$

Ответ: $$x=\frac43,\; x=\frac73.$$

Ответ

а) $$ (x-3)^2-11; $$
б) $$ (x+2{,}5)^2+13{,}75; $$
в) $$ 2(x-1)^2+8; $$
г) $$ \frac12(x+1)^2-6{,}5; $$
а) $$ y=-3; $$
б) $$ x=0,\; x=-\frac53; $$
в) $$ x=3; $$
г) $$ y=\pm 3; $$
д) $$ x=9,\; x=13; $$
е) $$ x=\frac43,\; x=\frac73. $$