Упр.503 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: Сократите дробь:

1. $$\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3+1}=\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3+1}\cdot\frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{\sqrt2+\sqrt3-1}$$

   $$=\frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{(\sqrt2+\sqrt3)^2-1}=\frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{2+2\sqrt6+3-1}=\frac{\sqrt2+\sqrt3-1}{4+2\sqrt6}$$

   $$=\frac{(\sqrt2+\sqrt3-1)(4-2\sqrt6)}{(4+2\sqrt6)(4-2\sqrt6)}$$

   $$=\frac{4\sqrt2-2\sqrt{12}+4\sqrt3-2\sqrt{18}-4+2\sqrt6}{16-24}$$

   $$=\frac{4\sqrt2-4\sqrt3+4\sqrt3-6\sqrt2-4+2\sqrt6}{-8}=\frac{2\sqrt6-2\sqrt2-4}{-8}$$

   $$=\frac{\sqrt6-\sqrt2-2}{-4}=\frac{\sqrt2-\sqrt6+2}{4}$$

2. $$\frac{1}{\sqrt5-\sqrt3+2}=\frac{1}{\sqrt5-\sqrt3+2}\cdot\frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{\sqrt5-\sqrt3-2}$$

   $$=\frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{(\sqrt5-\sqrt3)^2-4}=\frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{5-2\sqrt{15}+3-4}=\frac{\sqrt5-\sqrt3-2}{4-2\sqrt{15}}$$

   $$=\frac{(\sqrt5-\sqrt3-2)(4+2\sqrt{15})}{(4-2\sqrt{15})(4+2\sqrt{15})}$$

   $$=\frac{4\sqrt5+10\sqrt3-4\sqrt3-6\sqrt5-8-4\sqrt{15}}{16-60}$$

   $$=\frac{6\sqrt3-2\sqrt5-8-4\sqrt{15}}{-44}=\frac{3\sqrt3-\sqrt5-4-2\sqrt{15}}{-22}$$

   $$=\frac{\sqrt5-3\sqrt3+4+2\sqrt{15}}{22}$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt2-\sqrt6+2}{4}$$; б) $$\frac{\sqrt5-3\sqrt3+4+2\sqrt{15}}{22}$$.