Упр.502 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Освободитесь от иррациональности в числителе дроби: Сократите дробь:

1. $$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$$

   Представим числитель как разность кубов:

   $$\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)$$

   Тогда

   $$\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=x+\sqrt{xy}+y$$

2. $$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}$$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)$$

   Тогда

   $$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)}=\frac{1}{a-\sqrt{ab}+b}$$

3. $$\frac{2\sqrt{2}-x\sqrt{x}}{2+\sqrt{2x}+x}=\frac{\sqrt{2^3}-\sqrt{x^3}}{2+\sqrt{2x}+x}$$

   Числитель раскладывается по формуле разности кубов:

   $$\sqrt{2^3}-\sqrt{x^3}=(\sqrt{2}-\sqrt{x})(2+\sqrt{2x}+x)$$

   Тогда

   $$\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{x})(2+\sqrt{2x}+x)}{2+\sqrt{2x}+x}=\sqrt{2}-\sqrt{x}$$

4. $$\frac{a-\sqrt{3a}+3}{a\sqrt{a}+3\sqrt{3}}=\frac{a-\sqrt{3a}+3}{\sqrt{a^3}+\sqrt{3^3}}$$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$\sqrt{a^3}+\sqrt{3^3}=(\sqrt{a}+\sqrt{3})(a-\sqrt{3a}+3)$$

   Тогда

   $$\frac{a-\sqrt{3a}+3}{(\sqrt{a}+\sqrt{3})(a-\sqrt{3a}+3)}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}$$

Ответ

а) $$x+\sqrt{xy}+y$$; б) $$\frac{1}{a-\sqrt{ab}+b}$$; в) $$\sqrt{2}-\sqrt{x}$$; г) $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{3}}$$