Упр.242 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Найдите такие значения а и b, при которых выполняется тождество: Докажите, что при любом значении х, большем 2, значение выражения ((x+1)/2x + 4/(x+3) -2):(x+1)/(x+3) — (x2-5x+3)/2x является отрицательным числом

Упростим выражение:

$$ \left(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2\right):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x} $$

Сначала приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2 = \frac{(x+1)(x+3)+8x-4x(x+3)}{2x(x+3)} $$

$$ = \frac{x^2+4x+3+8x-4x^2-12x}{2x(x+3)} = \frac{3-3x^2}{2x(x+3)} = \frac{3(1-x^2)}{2x(x+3)} $$

Тогда

$$ \left(\frac{3(1-x^2)}{2x(x+3)}\right):\frac{x+1}{x+3} = \frac{3(1-x^2)}{2x(x+3)}\cdot\frac{x+3}{x+1} = \frac{3(1-x^2)}{2x(x+1)} $$

Так как $$1-x^2=(1-x)(1+x),$$ получаем:

$$ \frac{3(1-x^2)}{2x(x+1)} = \frac{3(1-x)(1+x)}{2x(x+1)} = \frac{3(1-x)}{2x} $$

Теперь вычтем вторую дробь:

$$ \frac{3(1-x)}{2x}-\frac{x^2-5x+3}{2x} = \frac{3-3x-x^2+5x-3}{2x} = \frac{-x^2+2x}{2x} $$

$$ \frac{-x^2+2x}{2x} = \frac{x(2-x)}{2x} = \frac{2-x}{2} = 1-\frac{x}{2} $$

При $$x>2$$ имеем $$\frac{x}{2}>1,$$ значит

$$ 1-\frac{x}{2}<0. $$

Ответ

Выражение равно $$1-\frac{x}{2}$$ и при любом $$x>2$$ является отрицательным числом.