Упр.217 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Сократите дробь: Докажите, что если в дроби (x2-2y2)/(3y2+5xy) переменные х и у заменить соответственно на kx и ky, где k =/ 0, то получится дробь, тождественно равная первоначальной. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 217 827

Подставим вместо $$x$$ и $$y$$ выражения $$kx$$ и $$ky$$, где $$k \ne 0$$:

$$ \frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy} \to \frac{(kx)^2-2(ky)^2}{3(ky)^2+5(kx)(ky)}. $$

Упростим:

$$ \frac{k^2x^2-2k^2y^2}{3k^2y^2+5k^2xy} = \frac{k^2(x^2-2y^2)}{k^2(3y^2+5xy)}. $$

Так как $$k \ne 0$$, то $$k^2 \ne 0$$, значит, можно сократить на $$k^2$$:

$$ \frac{k^2(x^2-2y^2)}{k^2(3y^2+5xy)} = \frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy}. $$

Следовательно, после замены $$x \to kx$$ и $$y \to ky$$ дробь тождественно равна первоначальной.

Ответ

$$ \frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy} $$
не изменяется при замене $$x \to kx$$, $$y \to ky$$, где $$k \ne 0$$.