Упр.197 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) y = 6/x;
б) y = 1/6x;
в) y = -6/x;
г) y = -1/6x. При каких значениях а и b равенство
6x/ (x-1)(х-2) = a/(х-1) + b/(х-2)
является тождеством?

Для функций вида $$y=\frac{k}{x}$$ знак числа $$k$$ определяет расположение гиперболы:

• если $$k>0$$, то график расположен в первой и третьей четвертях;
• если $$k<0$$, то график расположен во второй и четвертой четвертях.

Кроме того, чем больше $$|k|$$, тем сильнее гипербола прижимается к осям координат.

Отсюда получаем соответствие:

а) $$y=\frac{6}{x}$$ — 1);

б) $$y=\frac{1}{6x}$$ — 3);

в) $$y=-\frac{6}{x}$$ — 2);

г) $$y=-\frac{1}{6x}$$ — 4).

Найдём $$a$$ и $$b$$ из тождества

$$\frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}.$$

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{a(x-2)+b(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$

$$ \frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{ax-2a+bx-b}{(x-1)(x-2)} $$

$$ \frac{6x}{(x-1)(x-2)}=\frac{x(a+b)+(-2a-b)}{(x-1)(x-2)} $$

Так как дроби равны тождественно, то равны их числители:

$$6x=x(a+b)+(-2a-b).$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=6,\\ -2a-b=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения $$b=-2a$$. Подставим в первое:

$$a-2a=6,$$

$$-a=6,$$

$$a=-6.$$

Тогда

$$b=-2\cdot(-6)=12.$$

Ответ

а) 1); б) 3); в) 2); г) 4); $$a=-6,$$ $$b=12.$$