Упр.1294 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите, что при любом натуральном n, большем 2, корни уравнения x + 1/x = n — иррациональные числа.

Подробный ответ

Приведём уравнение к квадратному виду:

$$x+\frac{1}{x}=n \quad \Rightarrow \quad x^2-nx+1=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=n^2-4.$$

Так как $$n>2,$$ то $$D>0,$$ значит, уравнение имеет два действительных корня:

$$x_{1,2}=\frac{n\pm\sqrt{n^2-4}}{2}.$$

Докажем, что эти корни не могут быть рациональными. Предположим противное: пусть $$\sqrt{n^2-4}$$ — рациональное число. Тогда существует рациональное число $$y$$ такое, что

$$y^2=n^2-4.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то $$n^2-4$$ тоже целое. Если его корень рационален, то он должен быть целым, то есть $$y\in \mathbb{Z}.$$ Тогда

$$n^2-y^2=4,$$

или

$$ (n-y)(n+y)=4.$$

Поскольку $$n>2,$$ числа $$n-y$$ и $$n+y$$ — натуральные, а их произведение равно 4. Возможны только пары:

$$1\cdot 4 \quad \text{или} \quad 2\cdot 2.$$

Из пары $$2\cdot 2$$ получаем $$n=2,$$ что противоречит условию $$n>2.$$ Других натуральных разложений числа 4 нет. Значит, $$n^2-4$$ не является квадратом целого числа, и число $$\sqrt{n^2-4}$$ иррационально.

Следовательно, оба корня

$$x_{1,2}=\frac{n\pm\sqrt{n^2-4}}{2}$$

иррациональны.